Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập lượng giác khá thú vị. Đề bài như sau:

Bài toán: Cho \(tan \alpha = 2\). Tính \(Q=(sin \alpha + 3 cos \alpha)/(-sin \alpha + 2 cos \alpha)\).

Phân tích và hướng dẫn giải:

Khi gặp một biểu thức có chứa \(sin \alpha\) và \(cos \alpha\), và chúng ta biết giá trị của \(tan \alpha\), một phương pháp hiệu quả thường dùng là biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa \(tan \alpha\). Để làm được điều này, chúng ta sẽ chia cả tử số và mẫu số của biểu thức cho \(cos \alpha\).

Bước 1: Xác định điều kiện.

Chúng ta được cho \(tan \alpha = 2\). Điều này có nghĩa là \(sin \alpha / cos \alpha = 2\). Để \(tan \alpha\) tồn tại và có giá trị xác định, thì \(cos \alpha\) phải khác 0. Vậy điều kiện \(cos \alpha \neq 0\) đã được đảm bảo.

Bước 2: Biến đổi biểu thức \(Q\).

Ta có biểu thức:

\(Q=(sin \alpha + 3 cos \alpha)/(-sin \alpha + 2 cos \alpha)\)

Chúng ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho \(cos \alpha\):

Tử số mới là: \((sin \alpha + 3 cos \alpha) / cos \alpha\)

\(= (sin \alpha / cos \alpha) + (3 cos \alpha / cos \alpha)\)

\(= tan \alpha + 3\)

Mẫu số mới là: \((-sin \alpha + 2 cos \alpha) / cos \alpha\)

\(= (-sin \alpha / cos \alpha) + (2 cos \alpha / cos \alpha)\)

\(= -tan \alpha + 2\)

Vậy, biểu thức \(Q\) sau khi biến đổi sẽ trở thành:

\(Q = (tan \alpha + 3) / (-tan \alpha + 2)\)

Bước 3: Thay giá trị \(tan \alpha = 2\) vào biểu thức.

Bây giờ, chúng ta thay \(tan \alpha = 2\) vào biểu thức \(Q\):

Tử số: \(tan \alpha + 3 = 2 + 3 = 5\)

Mẫu số: \(-tan \alpha + 2 = -2 + 2 = 0\)

Vậy, ta có: \(Q = 5 / 0\).

Kết luận:

Vì mẫu số của biểu thức bằng 0, biểu thức \(Q\) không xác định (vô nghĩa).

Điều này có nghĩa là với giá trị \(tan \alpha = 2\), thì giá trị của mẫu số \((-sin \alpha + 2 cos \alpha)\) sẽ bằng 0, làm cho phép chia không thể thực hiện được.

Lưu ý quan trọng: Trong các bài toán tính giá trị biểu thức, chúng ta luôn cần kiểm tra điều kiện xác định. Ở đây, việc mẫu số bằng 0 là một kết quả tính toán hợp lệ dựa trên giả thiết đề bài, và chúng ta cần kết luận chính xác là biểu thức không xác định.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách xử lý dạng bài này, đặc biệt là việc kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức nhé!