Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về lượng giác. Đây là dạng bài rất phổ biến và quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài:

Cho \(tan \alpha = 4\). Tính \(P=(3 sin \alpha – 2 cos \alpha)/(4 cos \alpha + sin \alpha)\).

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm cách chuyển biểu thức \(P\) về dạng chỉ chứa \(tan \alpha\), bởi vì chúng ta đã biết giá trị của \(tan \alpha\).

Chúng ta biết rằng, theo định nghĩa: \(tan \alpha = sin \alpha / cos \alpha\).

Quan sát biểu thức \(P\):

\(P=(3 sin \alpha – 2 cos \alpha)/(4 cos \alpha + sin \alpha)\)

Để đưa các thành phần \(sin \alpha\) và \(cos \alpha\) về dạng \(tan \alpha\), cách đơn giản nhất là chúng ta sẽ chia cả tử số và mẫu số của biểu thức \(P\) cho \(cos \alpha\).

Lưu ý quan trọng: Trước khi chia cho \(cos \alpha\), chúng ta cần đảm bảo \(cos \alpha \neq 0\). Vì đề bài cho \(tan \alpha = 4\), mà \(tan \alpha\) được định nghĩa là \(sin \alpha / cos \alpha\), nên \(cos \alpha\) phải khác 0. Nếu \(cos \alpha = 0\), thì \(tan \alpha\) sẽ không xác định. Do đó, chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện phép chia này.

Bây giờ, chúng ta cùng thực hiện phép chia:

1. Chia tử số cho \(cos \alpha\):

\(3 sin \alpha – 2 cos \alpha\) được chia cho \(cos \alpha\) sẽ trở thành:

\((3 sin \alpha / cos \alpha) – (2 cos \alpha / cos \alpha)\)

\(= 3 (sin \alpha / cos \alpha) – 2 (cos \alpha / cos \alpha)\)

\(= 3 tan \alpha – 2 \cdot 1\)

\(= 3 tan \alpha – 2\)

2. Chia mẫu số cho \(cos \alpha\):

\(4 cos \alpha + sin \alpha\) được chia cho \(cos \alpha\) sẽ trở thành:

\((4 cos \alpha / cos \alpha) + (sin \alpha / cos \alpha)\)

\(= 4 (cos \alpha / cos \alpha) + (sin \alpha / cos \alpha)\)

\(= 4 \cdot 1 + tan \alpha\)

\(= 4 + tan \alpha\)

3. Thay thế kết quả vào biểu thức \(P\):

Vậy, biểu thức \(P\) bây giờ sẽ là:

\(P = (3 tan \alpha – 2) / (4 + tan \alpha)\)

4. Sử dụng giá trị đã cho của \(tan \alpha\):

Đề bài cho \(tan \alpha = 4\). Chúng ta sẽ thay giá trị này vào biểu thức của \(P\):

\(P = (3 \cdot 4 – 2) / (4 + 4)\)

\(P = (12 – 2) / 8\)

\(P = 10 / 8\)

Rút gọn phân số, ta được:

\(P = 5 / 4\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(P\) là \(5/4\).

Kết luận:

Với \(tan \alpha = 4\), giá trị của \(P=(3 sin \alpha – 2 cos \alpha)/(4 cos \alpha + sin \alpha)\) là \(5/4\).

Các em nhớ kỹ phương pháp này nhé. Khi gặp các bài toán yêu cầu tính giá trị của một biểu thức chứa \(sin \alpha\) và \(cos \alpha\) mà đề bài lại cho \(tan \alpha\) (hoặc \(cot \alpha\)), việc chia cả tử và mẫu cho \(cos \alpha\) (hoặc \(sin \alpha\)) thường là cách giải hiệu quả nhất.

Chúc các em học tốt!