Chào các em học sinh!

Cô/Thầy rất vui được hướng dẫn các em giải quyết các bài toán này. Chúng ta cùng đi vào chi tiết từng bài nhé!

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) Chứng minh \( (a^3 – b^3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)^2) \)

Cách làm: Chúng ta sẽ biến đổi vế trái để bằng vế phải.

Ta có vế trái (VT): \( a^3 – b^3 + ab(a – b) \)

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \).

Thay vào VT, ta được:

\( VT = (a – b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a – b) \)

Quan sát biểu thức, ta thấy có nhân tử chung là \( (a – b) \). Đặt \( (a – b) \) ra ngoài làm nhân tử chung:

\( VT = (a – b)[(a^2 + ab + b^2) + ab] \)

\( VT = (a – b)(a^2 + ab + b^2 + ab) \)

\( VT = (a – b)(a^2 + 2ab + b^2) \)

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \).

Thay vào biểu thức VT, ta được:

\( VT = (a – b)(a + b)^2 \)

Mà vế phải (VP) là \( (a – b)(a + b)^2 \).

Vì \( VT = VP \), nên đẳng thức đã được chứng minh.

Vậy \( a^3 – b^3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)^2 \).

b) Chứng minh \( (a – b)^3 + (b – c)^3 + (c – a)^3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) \)

Cách làm: Đây là một dạng bài sử dụng một tính chất đặc biệt của tổng các lập phương.

Nhắc lại tính chất: Nếu \( x + y + z = 0 \) thì \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \).

Bây giờ, chúng ta hãy đặt:

\( x = a – b \)

\( y = b – c \)

\( z = c – a \)

Hãy kiểm tra tổng \( x + y + z \):

\( x + y + z = (a – b) + (b – c) + (c – a) \)

\( x + y + z = a – b + b – c + c – a \)

\( x + y + z = (a – a) + (-b + b) + (-c + c) \)

\( x + y + z = 0 + 0 + 0 \)

\( x + y + z = 0 \)

Vì \( x + y + z = 0 \), theo tính chất đã nêu ở trên, ta có thể kết luận:

\( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)

Thay \( x, y, z \) trở lại bằng \( a – b, b – c, c – a \), ta được:

\( (a – b)^3 + (b – c)^3 + (c – a)^3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) \)

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

Bài 6: Tìm \( x \), biết:

a) Tìm \( x \), biết \( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = 0 \)

Cách làm: Chúng ta sẽ cố gắng đưa vế trái về dạng hằng đẳng thức lập phương của một tổng.

Nhận thấy rằng biểu thức \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) chính là hằng đẳng thức \( (x + 1)^3 \).

Ta có phương trình:

\( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = 0 \)

Tách số hạng tự do \( 2 \) thành \( 1 + 1 \):

\( (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 1 = 0 \)

Thay biểu thức trong ngoặc bằng hằng đẳng thức \( (x + 1)^3 \):

\( (x + 1)^3 + 1 = 0 \)

Chuyển số \( 1 \) sang vế phải:

\( (x + 1)^3 = -1 \)

Lấy căn bậc ba cả hai vế:

\( x + 1 = \sqrt[3]{-1} \)

\( x + 1 = -1 \)

Chuyển số \( 1 \) sang vế phải:

\( x = -1 – 1 \)

\( x = -2 \)

Vậy, giá trị của \( x \) cần tìm là \( -2 \).

b) Tìm \( x \), biết \( x^3 – 12x^2 + 48x – 72 = 0 \)

Cách làm: Tương tự như câu a), chúng ta sẽ cố gắng đưa vế trái về dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

Nhận thấy rằng biểu thức \( x^3 – 12x^2 + 48x – 64 \) chính là hằng đẳng thức \( (x – 4)^3 \).

Để xác định số \( 4 \), ta có thể dựa vào các hệ số của hằng đẳng thức \( (x – A)^3 = x^3 – 3Ax^2 + 3A^2x – A^3 \):

• Hệ số của \( x^2 \) là \( -12 \). Trong hằng đẳng thức, hệ số này là \( -3A \).
  Do đó, \( -3A = -12 \Rightarrow A = 4 \).
• Kiểm tra với hệ số của \( x \): \( 3A^2 = 3 \cdot 4^2 = 3 \cdot 16 = 48 \). Khớp với phương trình.
• Kiểm tra số hạng tự do: \( -A^3 = -4^3 = -64 \).

Phương trình đã cho là:

\( x^3 – 12x^2 + 48x – 72 = 0 \)

Tách số hạng tự do \( -72 \) thành \( -64 – 8 \):

\( (x^3 – 12x^2 + 48x – 64) – 8 = 0 \)

Thay biểu thức trong ngoặc bằng hằng đẳng thức \( (x – 4)^3 \):

\( (x – 4)^3 – 8 = 0 \)

Chuyển số \( -8 \) sang vế phải:

\( (x – 4)^3 = 8 \)

Lấy căn bậc ba cả hai vế:

\( x – 4 = \sqrt[3]{8} \)

\( x – 4 = 2 \)

Chuyển số \( -4 \) sang vế phải:

\( x = 2 + 4 \)

\( x = 6 \)

Vậy, giá trị của \( x \) cần tìm là \( 6 \).

Hy vọng phần hướng dẫn này giúp các em hiểu rõ cách giải từng bài. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!

Chúc các em học tốt!