Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P): y = x^2\) và đường thẳng \((d): y = mx + 4\).

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

Để tìm giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\), chúng ta sẽ xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2 = mx + 4\)

Chuyển vế, ta được phương trình bậc hai:

\(x^2 – mx – 4 = 0 \quad (*)\)

Để chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại 2 điểm phân biệt, chúng ta cần chứng minh phương trình \((*)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\). Điều này tương đương với việc biệt thức \( \Delta \) của phương trình bậc hai phải lớn hơn 0.

Ta có:

\(\Delta = (-m)^2 – 4(1)(-4) = m^2 + 16\)

Vì \(m^2 \ge 0\) với mọi \(m\), nên \(m^2 + 16 \ge 16 > 0\).

Do \(\Delta > 0\) với mọi giá trị của \(m\), phương trình \((*)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\). Điều này có nghĩa là đường thẳng \((d)\) luôn cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

b) Gọi các tọa độ giao điểm của (d) và (P) là \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\). Tìm tất cả các giá trị của m để \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2} = -2\).

Từ phương trình hoành độ giao điểm \((*)\), ta có:

\(x_1\) và \(x_2\) là nghiệm của phương trình \(x^2 – mx – 4 = 0\).

Theo định lý Viète, ta có:

\(x_1 + x_2 = m \quad (1)\)

\(x_1 x_2 = -4 \quad (2)\)

Mặt khác, vì \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\) là các giao điểm, chúng thuộc cả \((P)\) và \((d)\). Do đó:

\(y_1 = x_1^2\) và \(y_2 = x_2^2\) (từ phương trình của \((P)\))

hoặc

\(y_1 = mx_1 + 4\) và \(y_2 = mx_2 + 4\) (từ phương trình của \((d)\))

Ta xét biểu thức cần tìm giá trị của \(m\):

\(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2} = -2\)

Nhóm các số hạng lại, ta được:

\(\left(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\right) + \left(\frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2}\right) = -2 \quad ( *)\)

Ta xử lý từng nhóm:

Nhóm 1: \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\)

\(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}\)

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 x_2\)

Thay từ (1) và (2):

\(x_1^2 + x_2^2 = m^2 – 2(-4) = m^2 + 8\)

Do đó: \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{m^2 + 8}{-4}\)

Nhóm 2: \(\frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2}\)

Vì \(y_1 = x_1^2\) và \(y_2 = x_2^2\), ta có:

\(\frac{y_1}{x_1} = \frac{x_1^2}{x_1} = x_1\) (với \(x_1 \ne 0\). Ta cần kiểm tra \(x_1\) hoặc \(x_2\) có thể bằng 0 không. Nếu \(x=0\) là nghiệm của \(x^2 – mx – 4 = 0\) thì \(0^2 – m(0) – 4 = 0\), tức là \(-4 = 0\), điều này vô lý. Vậy \(x_1\) và \(x_2\) khác 0.)

\(\frac{y_2}{x_2} = \frac{x_2^2}{x_2} = x_2\)

Do đó: \(\frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2} = x_1 + x_2\)

Thay từ (1): \(x_1 + x_2 = m\)

Bây giờ, thay kết quả của hai nhóm vào phương trình \(( *)\):

\(\frac{m^2 + 8}{-4} + m = -2\)

Giải phương trình này cho \(m\):

\(m^2 + 8 – 4m = -8\)

\(m^2 – 4m + 16 = 0\)

Ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc hai \(m^2 – 4m + 16 = 0\). Ta tính biệt thức \( \Delta_m \) của phương trình này:

\(\Delta_m = (-4)^2 – 4(1)(16) = 16 – 64 = -48\)

Vì \(\Delta_m = -48 < 0\), phương trình \(m^2 - 4m + 16 = 0\) vô nghiệm.

Vậy, không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Kết luận: Không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} + \frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2} = -2\).

Các em thấy đó, việc phân tích kỹ từng phần của bài toán và áp dụng đúng định lý Viète là rất quan trọng. Các em về nhà ôn tập lại bài này và làm thêm các bài tập tương tự nhé. Chúc các em học tốt!