Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Đây là một dạng bài rất thú vị và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8, đặc biệt là khi chúng ta đã học về hằng đẳng thức đáng nhớ.

Đề bài của chúng ta như sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = x^2 – 6xy + 10y^2 + 6x + 8y – 3\)

Để tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của một biểu thức đại số có chứa hai biến \(x\) và \(y\), phương pháp phổ biến nhất mà chúng ta thường dùng là “hoàn thành bình phương” (hay còn gọi là thêm bớt để đưa về dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu). Mục tiêu của chúng ta là biến đổi biểu thức về dạng tổng của các bình phương, vì chúng ta biết rằng bình phương của một số luôn không âm.

\(A^2 \ge 0\)

Hãy cùng phân tích và biến đổi biểu thức \(P\).

Chúng ta có biểu thức:

\(P = x^2 – 6xy + 10y^2 + 6x + 8y – 3\)

Bước 1: Nhóm các hạng tử có chứa \(x\) và \(xy\) để tạo thành một bình phương hoàn chỉnh.

Chúng ta thấy có \(x^2\) và \(-6xy\). Để tạo thành dạng \((A – B)^2\), chúng ta cần có \(x^2 – 2AB + B^2\). Ở đây, \(A\) là \(x\). Vậy \(2AB = 6xy\), suy ra \(2xB = 6xy \implies B = 3y\).

Vậy, chúng ta sẽ cố gắng tạo ra \((x – 3y)^2\):

\((x – 3y)^2 = x^2 – 2(x)(3y) + (3y)^2 = x^2 – 6xy + 9y^2\)

Hãy xem biểu thức \(P\) của chúng ta:

\(P = (x^2 – 6xy + 9y^2) + y^2 + 6x + 8y – 3\)

Ở đây, \(10y^2\) được tách ra thành \(9y^2 + y^2\).

Vậy, ta có:

\(P = (x – 3y)^2 + y^2 + 6x + 8y – 3\)

Bước 2: Hoàn thiện bình phương cho biểu thức còn lại có chứa \(x\) và \(y\).

Bây giờ chúng ta còn hạng tử \(+6x\). Hạng tử này phải được “nhét” vào trong bình phương \((x – 3y)^2\) để tạo thành một bình phương lớn hơn, ví dụ \((x – 3y + k)^2\).

Hãy mở rộng \((x – 3y + k)^2\):

\((x – 3y + k)^2 = ((x – 3y) + k)^2 = (x – 3y)^2 + 2k(x – 3y) + k^2\)

\((x – 3y + k)^2 = (x – 3y)^2 + 2kx – 6ky + k^2\)

So sánh với biểu thức của chúng ta: \((x – 3y)^2 + 6x\).
Chúng ta muốn \(2kx = 6x\), vậy \(2k = 6 \implies k = 3\).

Vậy, chúng ta sẽ dùng \((x – 3y + 3)^2\):

\((x – 3y + 3)^2 = (x – 3y)^2 + 2(x – 3y)(3) + 3^2\)

\((x – 3y + 3)^2 = (x – 3y)^2 + 6x – 18y + 9\)

Bây giờ, thay thế phần này vào biểu thức \(P\):

\(P = [(x – 3y)^2 + 6x – 18y + 9] – (6x – 18y + 9) + y^2 + 6x + 8y – 3\)

Hãy cẩn thận với việc thêm vào và bớt đi:

\(P = (x – 3y + 3)^2 – 6x + 18y – 9 + y^2 + 6x + 8y – 3\)

Rút gọn các hạng tử còn lại:

\(P = (x – 3y + 3)^2 + y^2 + (18y + 8y) + (-9 – 3)\)

\(P = (x – 3y + 3)^2 + y^2 + 26y – 12\)

Bước 3: Hoàn thiện bình phương cho các hạng tử còn lại chỉ chứa \(y\).

Chúng ta có phần còn lại là \(y^2 + 26y – 12\). Hoàn thiện bình phương cho \(y^2 + 26y\):

\(y^2 + 26y = y^2 + 2(y)(13)\)

Để hoàn thiện bình phương, chúng ta cần thêm \(13^2 = 169\).

\(y^2 + 26y + 169 = (y + 13)^2\)

Vậy, \(y^2 + 26y – 12 = (y^2 + 26y + 169) – 169 – 12\)

\(y^2 + 26y – 12 = (y + 13)^2 – 181\)

Bước 4: Viết lại biểu thức \(P\) dưới dạng tổng của các bình phương và một hằng số.

Thay kết quả ở Bước 3 vào biểu thức \(P\) đã biến đổi ở Bước 2:

\(P = (x – 3y + 3)^2 + (y + 13)^2 – 181\)

Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất.

Chúng ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm:

\((x – 3y + 3)^2 \ge 0\)

\((y + 13)^2 \ge 0\)

Do đó:

\(P = (x – 3y + 3)^2 + (y + 13)^2 – 181 \ge 0 + 0 – 181\)

\(P \ge -181\)

Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(-181\).

Giá trị này đạt được khi và chỉ khi cả hai bình phương bằng 0:

1. \((y + 13)^2 = 0 \implies y + 13 = 0 \implies y = -13\)

2. \((x – 3y + 3)^2 = 0 \implies x – 3y + 3 = 0\)

Thay \(y = -13\) vào phương trình thứ hai:

\(x – 3(-13) + 3 = 0\)

\(x + 39 + 3 = 0\)

\(x + 42 = 0\)

\(x = -42\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(-181\), đạt được khi \(x = -42\) và \(y = -13\).

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x^2 – 6xy + 10y^2 + 6x + 8y – 3\) là \(-181\), đạt được tại \(x = -42\) và \(y = -13\).

Các em nhớ luyện tập thêm dạng bài này nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy cô!