Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hình hộp chữ nhật rất thú vị, liên quan đến việc tìm thể tích lớn nhất. Đây là một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 9.

Chúng ta cùng phân tích đề bài nhé:

Đề bài: Một hình hộp chữ nhật có chiều cao 8cm, diện tích xung quanh là 192cm\(^2\). Viết biểu thức tính thể tích hình hộp chữ nhật theo kích thước của đáy. Tìm kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.

---

Phân tích và tóm tắt các dữ kiện đã cho:

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại các công thức về hình hộp chữ nhật.

• Gọi chiều dài của đáy là \(l\) (cm).
• Gọi chiều rộng của đáy là \(w\) (cm).
• Chiều cao của hình hộp chữ nhật là \(h\). Theo đề bài, \(h = 8\) cm.

Các công thức cần nhớ:

• Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: \(S_{xq} = Chu vi đáy \times Chiều cao = 2(l+w)h\).
• Thể tích của hình hộp chữ nhật: \(V = Diện tích đáy \times Chiều cao = (l \cdot w) \cdot h\).

Từ đề bài, ta có:

• \(h = 8\) cm.
• \(S_{xq} = 192\) cm\(^2\).

---

Bước 1: Viết biểu thức tính thể tích hình hộp chữ nhật theo kích thước của đáy.

Ta có công thức diện tích xung quanh:

\(S_{xq} = 2(l+w)h\)

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

\(192 = 2(l+w) \cdot 8\)

\(192 = 16(l+w)\)

Chia cả hai vế cho 16, ta được tổng của chiều dài và chiều rộng:

\(l+w = \frac{192}{16}\)

\(l+w = 12\) (cm) (1)

Từ (1), ta có thể biểu diễn một kích thước theo kích thước còn lại. Chẳng hạn, biểu diễn \(w\) theo \(l\):

\(w = 12 – l\)

Bây giờ, chúng ta viết biểu thức tính thể tích \(V\). Công thức thể tích là:

\(V = l \cdot w \cdot h\)

Thay \(h = 8\) và \(w = 12 – l\) vào công thức thể tích:

\(V = l \cdot (12 – l) \cdot 8\)

\(V = 8l(12 – l)\)

\(V = 96l – 8l^2\)

Vậy, biểu thức tính thể tích hình hộp chữ nhật theo kích thước của đáy (cụ thể là chiều dài \(l\)) là:

\(V(l) = 8l(12 – l)\) hoặc \(V(l) = -8l^2 + 96l\).

Điều kiện: Vì \(l\) và \(w\) là các kích thước của đáy nên chúng phải là các số dương.
\(l > 0\)
\(w = 12 – l > 0 \implies l < 12\).
Do đó, \(0 < l < 12\).

---

Bước 2: Tìm kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(V(l) = 8l(12 – l)\) với điều kiện \(0 < l < 12\).

Để tìm giá trị lớn nhất của tích \(l(12-l)\), khi tổng \(l + (12-l) = 12\) là một hằng số, chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương.

Bất đẳng thức Cô-si phát biểu rằng: Đối với hai số không âm \(a\) và \(b\), ta có \( \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\).

Áp dụng cho hai số \(l\) và \(12-l\):

\( \frac{l + (12 – l)}{2} \ge \sqrt{l(12 – l)} \)

\( \frac{12}{2} \ge \sqrt{l(12 – l)} \)

\( 6 \ge \sqrt{l(12 – l)} \)

Bình phương cả hai vế (vì cả hai vế đều dương), ta được:

\( 6^2 \ge l(12 – l) \)

\( 36 \ge l(12 – l) \)

Điều này có nghĩa là giá trị lớn nhất của tích \(l(12-l)\) là 36.

Dấu “=” (tức là giá trị lớn nhất) xảy ra khi \(l = 12 – l\).

\(2l = 12\)

\(l = 6\) cm.

Khi \(l = 6\) cm, ta tìm chiều rộng \(w\):

\(w = 12 – l = 12 – 6 = 6\) cm.

Vậy, thể tích của hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất khi đáy là một hình vuông có cạnh là 6 cm.

Giá trị thể tích lớn nhất là:

\(V_{max} = 8 \cdot l \cdot w = 8 \cdot 6 \cdot 6 = 8 \cdot 36 = 288\) cm\(^3\).

---

Kết luận:

1. Biểu thức tính thể tích hình hộp chữ nhật theo kích thước đáy (nếu gọi chiều dài đáy là \(l\)) là:
\(V(l) = 8l(12 – l)\) (với \(0 < l < 12\)).

2. Để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất, kích thước của đáy phải là:
Chiều dài \(l = 6\) cm.
Chiều rộng \(w = 6\) cm.
(Tức là đáy là một hình vuông có cạnh 6 cm).
Khi đó, thể tích lớn nhất là \(288\) cm\(^3\).

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!