Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thực tế rất thú vị về việc kinh doanh đèn lồng Trung Thu của bác Vui nhé. Đây là một dạng bài toán giúp chúng ta vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, rất hay gặp trong các kì thi đó!

Chúng ta cùng đọc kỹ đề bài và phân tích nhé:

Đề bài: Tết Trung Thu đang đến gần, cửa hàng bác Vui nhập về 200 chiếc đèn lồng Trung Thu nhiều màu sắc để bán cho trẻ em trong khu phố. Hiện tại, giá bán mỗi chiếc đèn là 40 nghìn đồng và với mức giá này thì tất cả đèn đều được bán hết. Bác Vui suy nghĩ: nếu tăng giá bán thêm một chút thì doanh thu có thể nhiều hơn, nhưng đồng thời sẽ có ít trẻ em mua hơn. Qua khảo sát, bác thấy rằng cứ mỗi lần tăng thêm 2 nghìn đồng/chiếc thì sẽ có 5 chiếc đèn không bán được. Hỏi bác Vui nên bán mỗi chiếc đèn Trung Thu với giá bao nhiêu để thu được doanh thu lớn nhất? Tính số đèn bán được và doanh thu lớn nhất đạt được khi đó?

Phân tích bài toán và hướng giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá bán để doanh thu đạt lớn nhất. Doanh thu được tính bằng “Giá bán mỗi chiếc đèn” nhân với “Số chiếc đèn bán được”. Cả giá bán và số đèn bán được đều thay đổi theo một quy luật nhất định. Chúng ta sẽ đặt một biến để biểu thị số lần tăng giá, sau đó biểu diễn giá bán, số đèn bán được và doanh thu theo biến đó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi ẩn và biểu diễn các đại lượng theo ẩn

Gọi \(x\) là số lần bác Vui tăng giá bán, với \(x\) là số nguyên không âm (\(x \ge 0\)).

a) Giá bán mỗi chiếc đèn:
Ban đầu, giá bán là 40 nghìn đồng.
Mỗi lần tăng giá thêm 2 nghìn đồng.
Vậy, nếu tăng giá \(x\) lần, giá bán mỗi chiếc đèn sẽ là:
\( \text{Giá bán} = 40 + 2x \) (nghìn đồng)

b) Số chiếc đèn bán được:
Ban đầu, có 200 chiếc đèn và tất cả đều bán hết.
Cứ mỗi lần tăng giá 2 nghìn đồng thì có 5 chiếc đèn không bán được.
Vậy, nếu tăng giá \(x\) lần, số chiếc đèn không bán được là \(5x\).
Số chiếc đèn bán được sẽ là:
\( \text{Số đèn bán được} = 200 – 5x \) (chiếc)

Lưu ý: Số đèn bán được phải là số dương, nên \(200 – 5x > 0 \Rightarrow 5x < 200 \Rightarrow x < 40\). Kết hợp với \(x \ge 0\), ta có \(0 \le x < 40\).

Bước 2: Lập biểu thức tính doanh thu

Doanh thu \(D\) (tính bằng nghìn đồng) là tích của giá bán mỗi chiếc đèn và số chiếc đèn bán được:

\( D(x) = (\text{Giá bán}) \times (\text{Số đèn bán được}) \)
\( D(x) = (40 + 2x)(200 – 5x) \)

Bây giờ chúng ta sẽ khai triển biểu thức này để đưa về dạng hàm số bậc hai \(ax^2 + bx + c\):
\( D(x) = 40 \times 200 + 40 \times (-5x) + 2x \times 200 + 2x \times (-5x) \)
\( D(x) = 8000 – 200x + 400x – 10x^2 \)
\( D(x) = -10x^2 + 200x + 8000 \)

Bước 3: Tìm giá trị của \(x\) để doanh thu lớn nhất

Hàm số \(D(x) = -10x^2 + 200x + 8000\) là một hàm số bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a = -10\), \(b = 200\), \(c = 8000\).
Vì hệ số \(a = -10 < 0\), đồ thị của hàm số này là một parabol úp xuống, nên nó có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.
Hoành độ đỉnh của parabol được tính bằng công thức \(x = \frac{-b}{2a}\).

Thay các giá trị \(a\) và \(b\) vào công thức:
\( x = \frac{-200}{2 \times (-10)} \)
\( x = \frac{-200}{-20} \)
\( x = 10 \)

Giá trị \(x = 10\) thỏa mãn điều kiện \(0 \le x < 40\).

Vậy, để doanh thu lớn nhất, bác Vui cần tăng giá 10 lần.

Bước 4: Tính giá bán, số đèn bán được và doanh thu lớn nhất

a) Giá bán mỗi chiếc đèn để đạt doanh thu lớn nhất:
Thay \(x = 10\) vào biểu thức giá bán:
\( \text{Giá bán} = 40 + 2x = 40 + 2 \times 10 = 40 + 20 = 60 \) (nghìn đồng)

b) Số đèn bán được khi đó:
Thay \(x = 10\) vào biểu thức số đèn bán được:
\( \text{Số đèn bán được} = 200 – 5x = 200 – 5 \times 10 = 200 – 50 = 150 \) (chiếc)

c) Doanh thu lớn nhất đạt được:
Thay \(x = 10\) vào biểu thức doanh thu \(D(x)\):
\( D(10) = -10(10)^2 + 200(10) + 8000 \)
\( D(10) = -10 \times 100 + 2000 + 8000 \)
\( D(10) = -1000 + 2000 + 8000 \)
\( D(10) = 1000 + 8000 \)
\( D(10) = 9000 \) (nghìn đồng)

Hoặc chúng ta có thể tính: \( \text{Doanh thu} = \text{Giá bán} \times \text{Số đèn bán được} = 60 \times 150 = 9000 \) (nghìn đồng).

Kết luận:

Để thu được doanh thu lớn nhất, bác Vui nên bán mỗi chiếc đèn Trung Thu với giá 60 nghìn đồng.

Khi đó, số đèn bán được là 150 chiếc.

Và doanh thu lớn nhất bác Vui đạt được là 9.000.000 đồng (hoặc 9000 nghìn đồng).

Các em thấy không, việc áp dụng kiến thức toán học vào thực tế thật thú vị và hữu ích phải không nào? Chúc các em học tốt!