Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức và tìm giá trị nhỏ nhất. Đây là một dạng bài rất hay và thường gặp trong các kỳ thi. Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết từng phần một nhé!

Đề bài: Cho biểu thức \(P=((a/b+b/a+1)*(1/a-1/b)^2)/(a^2/b^2+b^2/a^2-(a/b+b/a))\) với \(a>0, b>0, a \ne b\).

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) Giả sử \(a, b\) thay đổi sao cho \(4a+b+\sqrt{ab}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).

—

a) Rút gọn biểu thức \(P\)

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ phân tích tử số và mẫu số riêng biệt, sau đó thực hiện phép chia.

Bước 1: Phân tích tử số.

Tử số là \((a/b+b/a+1)*(1/a-1/b)^2\).

Ta có:

\(a/b+b/a+1 = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} + \frac{ab}{ab} = \frac{a^2+b^2+ab}{ab}\)
\((1/a-1/b)^2 = \left(\frac{b}{ab} – \frac{a}{ab}\right)^2 = \left(\frac{b-a}{ab}\right)^2 = \frac{(b-a)^2}{(ab)^2} = \frac{(b-a)^2}{a^2b^2}\)

Vậy, tử số sẽ là:

\(T = \frac{a^2+b^2+ab}{ab} \cdot \frac{(b-a)^2}{a^2b^2}\)

\(T = \frac{(a^2+ab+b^2)(b-a)^2}{a \cdot a^2 \cdot b \cdot b^2} = \frac{(a^2+ab+b^2)(b-a)^2}{a^3b^3}\)

Bước 2: Phân tích mẫu số.

Mẫu số là \(a^2/b^2+b^2/a^2-(a/b+b/a)\).

Để đơn giản, chúng ta có thể đặt \(x = a/b\). Khi đó \(b/a = 1/x\).

Mẫu số trở thành: \(x^2+1/x^2-(x+1/x)\).

Chúng ta biết rằng \(x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 – 2\) (Đây là một công thức quen thuộc: \((A+B)^2 = A^2+2AB+B^2 \Rightarrow A^2+B^2 = (A+B)^2-2AB\). Áp dụng với \(A=x, B=1/x\), ta có \(AB = x \cdot (1/x) = 1\)).

Vậy, mẫu số là: \((x+1/x)^2 – 2 – (x+1/x)\).

Đặt \(k = x+1/x\), biểu thức trở thành: \(k^2 – k – 2\).

Chúng ta có thể phân tích đa thức bậc hai này thành nhân tử: \(k^2 – k – 2 = (k^2 – 2k) + (k – 2) = k(k-2) + 1(k-2) = (k-2)(k+1)\).

Bây giờ, thay \(k = a/b+b/a\) trở lại:

\(M = (a/b+b/a-2)(a/b+b/a+1)\)

\(M = \left(\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\right) \left(\frac{a^2+b^2+ab}{ab}\right)\)

\(M = \frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{a^2+ab+b^2}{ab}\)

\(M = \frac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{a^2b^2}\)

Bước 3: Thực hiện phép chia.

\(P = T/M\)

\(P = \frac{\frac{(a^2+ab+b^2)(b-a)^2}{a^3b^3}}{\frac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{a^2b^2}}\)

Các em lưu ý rằng \((b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2\).
Vì \(a>0, b>0\) nên \(a^2+ab+b^2\) luôn dương (là tổng của các số dương). Do đó, ta có thể rút gọn các thừa số chung này.

\(P = \frac{(a^2+ab+b^2)(a-b)^2 / (a^3b^3)}{(a-b)^2(a^2+ab+b^2) / (a^2b^2)}\)

\(P = \frac{1/a^3b^3}{1/a^2b^2}\)

\(P = \frac{a^2b^2}{a^3b^3}\)

\(P = \frac{1}{ab}\)

Vậy, biểu thức \(P\) sau khi rút gọn là \(P = 1/(ab)\).

—

b) Giả sử \(a, b\) thay đổi sao cho \(4a+b+\sqrt{ab}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).

Từ phần a), chúng ta đã rút gọn được \(P = 1/(ab)\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của tích \(ab\).

Ta có điều kiện: \(4a+b+\sqrt{ab}=1\).

Vì \(a>0, b>0\), chúng ta có thể đặt \(x = \sqrt{a}\) và \(y = \sqrt{b}\). (Khi đó \(x>0, y>0\)).

Biểu thức điều kiện trở thành: \(4x^2+y^2+xy=1\).

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(ab = (\sqrt{a}\sqrt{b})^2 = (\sqrt{ab})^2 = (xy)^2\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương \(4x^2\) và \(y^2\):

\(4x^2+y^2 \ge 2\sqrt{4x^2 \cdot y^2}\)

\(4x^2+y^2 \ge 2\sqrt{4(xy)^2}\)

\(4x^2+y^2 \ge 2 \cdot 2|xy|\)

Vì \(x, y > 0\) nên \(xy > 0\). Vậy \(|xy|=xy\).

\(4x^2+y^2 \ge 4xy\)

Thay bất đẳng thức này vào điều kiện ban đầu:

\(1 = 4x^2+y^2+xy\)

Vì \(4x^2+y^2 \ge 4xy\), ta có:

\(1 \ge 4xy + xy\)

\(1 \ge 5xy\)

Từ đó suy ra: \(xy \le 1/5\).

Vậy, \(ab = (xy)^2 \le (1/5)^2\)

\(ab \le 1/25\).

Vì \(ab \le 1/25\), để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = 1/(ab)\), chúng ta phải lấy giá trị lớn nhất của \(ab\).

Khi đó \(P \ge 1/(1/25)\).

\(P \ge 25\).

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Dấu “=” xảy ra khi bất đẳng thức Cô-si trở thành đẳng thức, tức là \(4x^2 = y^2\).
Vì \(x,y>0\), ta có \(y=2x\).

Thay \(y=2x\) vào điều kiện \(4x^2+y^2+xy=1\):

\(4x^2+(2x)^2+x(2x)=1\)

\(4x^2+4x^2+2x^2=1\)

\(10x^2=1\)

\(x^2=1/10\)

Vậy \(a = x^2 = 1/10\).

Từ \(y=2x\), ta có \(y^2 = (2x)^2 = 4x^2\).

\(b = y^2 = 4(1/10) = 4/10 = 2/5\).

Kiểm tra lại các điều kiện:
\(a=1/10 > 0\), \(b=2/5 > 0\).
\(a \ne b\) (vì \(1/10 \ne 2/5\)).
Kiểm tra điều kiện đề bài: \(4a+b+\sqrt{ab} = 4(1/10) + 2/5 + \sqrt{(1/10)(2/5)} = 2/5 + 2/5 + \sqrt{2/50} = 4/5 + \sqrt{1/25} = 4/5 + 1/5 = 1\). (Điều kiện thỏa mãn).

Khi đó, \(ab = (1/10)(2/5) = 2/50 = 1/25\).

Và giá trị của \(P = 1/(ab) = 1/(1/25) = 25\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là 25.

—

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ cách làm và hiểu sâu hơn về các kỹ thuật rút gọn biểu thức cũng như tìm giá trị nhỏ nhất nhé! Chúc các em học tốt!