Chào các em học sinh lớp 10 thân mến!

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị trong chuyên đề lượng giác. Bài toán này không chỉ kiểm tra kiến thức về các hằng đẳng thức cơ bản mà còn yêu cầu sự linh hoạt trong tư duy biến đổi. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Biết \(sin x + cos x = m\)

a) Tìm \(|sin^4 x – cos^4 x|\)

b) Chứng minh rằng: \(|m| \le \sqrt{2}\)

Phân tích bài toán và hướng dẫn giải:

Trước khi đi vào giải chi tiết từng phần, thầy muốn các em nhớ lại một số công thức và hằng đẳng thức lượng giác quan trọng mà chúng ta đã học:

• \(sin^2 x + cos^2 x = 1\) (Công thức cơ bản nhất!)
• \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
• \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)

Với những kiến thức này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu của bài toán.

—

Giải chi tiết:

Chúng ta có giả thiết quan trọng là: \(sin x + cos x = m \quad (*)\)

a) Tìm \(|sin^4 x – cos^4 x|\)

Các em hãy nhìn vào biểu thức \(sin^4 x – cos^4 x\). Nó có dạng của một hằng đẳng thức quen thuộc: hiệu của hai bình phương \(A^2 – B^2\).

Ở đây, \(A = sin^2 x\) và \(B = cos^2 x\).

Vậy, ta có thể viết:

\(sin^4 x – cos^4 x = (sin^2 x)^2 – (cos^2 x)^2\)

\(sin^4 x – cos^4 x = (sin^2 x – cos^2 x)(sin^2 x + cos^2 x)\)

Các em còn nhớ \(sin^2 x + cos^2 x\) bằng bao nhiêu không? Đúng rồi, nó bằng 1!

Vậy biểu thức của chúng ta trở nên đơn giản hơn rất nhiều:

\(sin^4 x – cos^4 x = (sin^2 x – cos^2 x) \cdot 1\)

\(sin^4 x – cos^4 x = sin^2 x – cos^2 x \quad (1)\)

Tiếp theo, chúng ta cần biểu diễn \(sin^2 x – cos^2 x\) theo \(m\). Hãy nhớ rằng chúng ta đã có \(sin x + cos x = m\).

Lại một lần nữa, \(sin^2 x – cos^2 x\) có dạng \(A^2 – B^2\), với \(A = sin x\) và \(B = cos x\).

Do đó:

\(sin^2 x – cos^2 x = (sin x – cos x)(sin x + cos x)\)

Thay \(sin x + cos x = m\) vào, ta được:

\(sin^2 x – cos^2 x = (sin x – cos x) \cdot m \quad (2)\)

Bây giờ, vấn đề là chúng ta cần tìm giá trị của \((sin x – cos x)\) theo \(m\).

Chúng ta có \((sin x + cos x)^2 = m^2\). Hãy khai triển biểu thức này:

\(sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x = m^2\)

Vì \(sin^2 x + cos^2 x = 1\), ta có:

\(1 + 2sin x cos x = m^2\)

\(2sin x cos x = m^2 – 1 \quad (3)\)

Bây giờ, để tìm \((sin x – cos x)\), chúng ta sẽ bình phương nó lên:

\((sin x – cos x)^2 = sin^2 x – 2sin x cos x + cos^2 x\)

\((sin x – cos x)^2 = (sin^2 x + cos^2 x) – 2sin x cos x\)

\((sin x – cos x)^2 = 1 – 2sin x cos x\)

Thay \((3)\) vào biểu thức trên:

\((sin x – cos x)^2 = 1 – (m^2 – 1)\)

\((sin x – cos x)^2 = 1 – m^2 + 1\)

\((sin x – cos x)^2 = 2 – m^2\)

Từ đây, ta có \((sin x – cos x) = \pm \sqrt{2 – m^2}\).

Cuối cùng, chúng ta thay giá trị của \((sin x – cos x)\) vào biểu thức \((2)\):

\(sin^2 x – cos^2 x = (\pm \sqrt{2 – m^2}) \cdot m\)

Vậy, \(sin^4 x – cos^4 x = \pm m \sqrt{2 – m^2}\).

Đề bài yêu cầu tìm giá trị tuyệt đối \(|sin^4 x – cos^4 x|\), nên ta có:

\(|sin^4 x – cos^4 x| = |\pm m \sqrt{2 – m^2}|\)

\(|sin^4 x – cos^4 x| = |m \sqrt{2 – m^2}|\)

Kết quả cuối cùng cho phần a): \(|sin^4 x – cos^4 x| = |m \sqrt{2 – m^2}|\)

—

b) Chứng minh rằng: \(|m| \le \sqrt{2}\)

Để chứng minh điều này, chúng ta hãy nhìn lại một kết quả quan trọng mà chúng ta vừa tìm được trong phần a):

\((sin x – cos x)^2 = 2 – m^2\)

Các em hãy nhớ rằng, bình phương của một số thực (ở đây là \((sin x – cos x)\)) thì luôn không âm.

Tức là, \((sin x – cos x)^2 \ge 0\).

Do đó, chúng ta phải có:

\(2 – m^2 \ge 0\)

Giải bất phương trình này:

\(2 \ge m^2\)

\(m^2 \le 2\)

Lấy căn bậc hai cả hai vế (và nhớ rằng khi lấy căn bậc hai của \(m^2\), ta sẽ có \(|m|\)):

\(\sqrt{m^2} \le \sqrt{2}\)

\(|m| \le \sqrt{2}\)

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được điều cần chứng minh!

Cách chứng minh khác cho phần b) (sử dụng phương pháp hàm số/biến đổi):

Đây là một cách tiếp cận khác, cũng rất hiệu quả và thường được sử dụng.

Chúng ta có \(m = sin x + cos x\).

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức này, chúng ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức biến đổi dạng \(a sin x + b cos x\):

\(m = sin x + cos x\)

\(m = \sqrt{1^2 + 1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} cos x \right)\)

\(m = \sqrt{2} \left( cos\left(\frac{\pi}{4}\right) sin x + sin\left(\frac{\pi}{4}\right) cos x \right)\)

Áp dụng công thức cộng \(sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B\), ta có:

\(m = \sqrt{2} sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\)

Chúng ta biết rằng giá trị của hàm \(sin(\theta)\) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\), tức là:

\(-1 \le sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1\)

Nhân tất cả các vế với \(\sqrt{2}\) (là một số dương), ta được:

\(-1 \cdot \sqrt{2} \le \sqrt{2} sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1 \cdot \sqrt{2}\)

\(-\sqrt{2} \le m \le \sqrt{2}\)

Và điều này tương đương với:

\(|m| \le \sqrt{2}\)

Phương pháp này cho thấy giá trị của \(m\) luôn bị chặn bởi \(\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{2}\), từ đó khẳng định \(|m| \le \sqrt{2}\).

—

Tổng kết:

Qua bài toán này, các em đã ôn lại và vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ, công thức lượng giác cơ bản như \(sin^2 x + cos^2 x = 1\), và kỹ năng giải bất phương trình. Đồng thời, chúng ta còn học thêm được một kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức bằng cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác.

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy tự làm lại bài tập này một lần nữa để củng cố kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!