Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên Toán của lớp mình. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất hay về lũy thừa. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép bài đầy đủ nhé!

Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán sau:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức a, biết rằng:
\( a = \frac{8^{15} \times 25^7}{125^5 \times 24^7} \)

Các em thấy đó, đây là một bài toán tính toán với các lũy thừa có cơ số khác nhau. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng những kiến thức về lũy thừa mà chúng ta đã học. Cụ thể là các quy tắc sau:

* \( (x^m)^n = x^{m \times n} \)
* \( x^m \times x^n = x^{m+n} \)
* \( x^m \div x^n = x^{m-n} \)
* \( (x \times y)^n = x^n \times y^n \)
* \( (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành phân tích và biến đổi từng thành phần trong biểu thức \(a\).

Bước 1: Phân tích các cơ số thành thừa số nguyên tố

Chúng ta nhận thấy các cơ số 8, 25, 125, 24 đều có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố cơ bản là 2 và 5.

* \( 8 = 2^3 \)
* \( 25 = 5^2 \)
* \( 125 = 5^3 \)
* \( 24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các cơ số này vào biểu thức \(a\).

Bước 2: Thay thế các cơ số bằng biểu thức lũy thừa của thừa số nguyên tố

Biểu thức \(a\) ban đầu là:

\( a = \frac{8^{15} \times 25^7}{125^5 \times 24^7} \)

Thay thế các cơ số, ta được:

\( a = \frac{(2^3)^{15} \times (5^2)^7}{(5^3)^5 \times (2^3 \times 3)^7} \)

Bước 3: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa và lũy thừa của một tích

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc \( (x^m)^n = x^{m \times n} \) và \( (x \times y)^n = x^n \times y^n \) để biến đổi tiếp.

Ta có:

\( (2^3)^{15} = 2^{3 \times 15} = 2^{45} \)

\( (5^2)^7 = 5^{2 \times 7} = 5^{14} \)

\( (5^3)^5 = 5^{3 \times 5} = 5^{15} \)

\( (2^3 \times 3)^7 = (2^3)^7 \times 3^7 = 2^{3 \times 7} \times 3^7 = 2^{21} \times 3^7 \)

Bây giờ, thay thế các kết quả này trở lại biểu thức \(a\):

\( a = \frac{2^{45} \times 5^{14}}{5^{15} \times 2^{21} \times 3^7} \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức bằng cách áp dụng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số

Chúng ta sẽ nhóm các lũy thừa có cùng cơ số lại với nhau và sử dụng quy tắc \( x^m \div x^n = x^{m-n} \).

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\( a = \frac{2^{45}}{2^{21}} \times \frac{5^{14}}{5^{15}} \times \frac{1}{3^7} \)

Thực hiện phép chia:

\( \frac{2^{45}}{2^{21}} = 2^{45 – 21} = 2^{24} \)

\( \frac{5^{14}}{5^{15}} = 5^{14 – 15} = 5^{-1} \)

Như vậy, biểu thức \(a\) trở thành:

\( a = 2^{24} \times 5^{-1} \times \frac{1}{3^7} \)

Bước 5: Biểu diễn lũy thừa với số mũ âm thành phân số

Chúng ta nhớ rằng \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \).

Do đó, \( 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5} \).

Vậy, biểu thức \(a\) là:

\( a = 2^{24} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{3^7} \)

\( a = \frac{2^{24}}{5 \times 3^7} \)

Bây giờ, chúng ta có thể tính toán các lũy thừa này để đưa ra kết quả cuối cùng. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc để dưới dạng lũy thừa như trên là hoàn toàn chấp nhận được và cho thấy sự hiểu biết sâu sắc về các quy tắc.

Nếu muốn tính toán cụ thể, chúng ta có:
\( 3^7 = 2187 \)
\( 5 \times 3^7 = 5 \times 2187 = 10935 \)

Và \( 2^{24} \) là một số rất lớn. Thông thường, trong các bài tập như thế này, chúng ta chỉ cần đưa về dạng đơn giản nhất với các lũy thừa còn lại là các số nguyên tố.

Vậy, kết quả cuối cùng của biểu thức \(a\) là:
\( a = \frac{2^{24}}{5 \times 3^7} \)

Hoặc để gọn hơn:
\( a = \frac{2^{24}}{10935} \)

Các em thấy không, chỉ cần áp dụng đúng các quy tắc về lũy thừa, chúng ta đã có thể biến đổi một biểu thức phức tạp trở nên đơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều.

Các em hãy xem lại các bước giải và ghi nhớ nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Cô luôn sẵn sàng giải đáp cho các em.