Bài toán: Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 7cos^2 x + 3sin 2x – sin^2 x\). Tính giá trị của biểu thức \(P = 2M + 3m\).

Lời giải chi tiết:

Trước hết, chúng ta cần biến đổi hàm số \(y\) về một dạng dễ dàng hơn để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ta có:

\(y = 7cos^2 x + 3sin 2x – sin^2 x\)

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác quen thuộc:

• Công thức hạ bậc: \(cos^2 x = \frac{1 + cos 2x}{2}\) và \(sin^2 x = \frac{1 – cos 2x}{2}\)
• Công thức góc đôi: \(sin 2x = 2 sin x cos x\)

Áp dụng các công thức này vào hàm số \(y\):

\(y = 7 \left( \frac{1 + cos 2x}{2} \right) + 3 (2 sin x cos x) – \left( \frac{1 – cos 2x}{2} \right)\)

\(y = \frac{7}{2} (1 + cos 2x) + 6 sin x cos x – \frac{1}{2} (1 – cos 2x)\)

\(y = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} cos 2x + 3 sin 2x – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2x\)

\(y = \left( \frac{7}{2} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{7}{2} cos 2x + \frac{1}{2} cos 2x \right) + 3 sin 2x\)

\(y = \frac{6}{2} + \frac{8}{2} cos 2x + 3 sin 2x\)

\(y = 3 + 4 cos 2x + 3 sin 2x\)

Bây giờ, chúng ta có hàm số dạng \(y = a cos \theta + b sin \theta + c\), với \( \theta = 2x \), \( a = 4 \), \( b = 3 \) và \( c = 3 \).

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức dạng \(a cos \theta + b sin \theta\), ta sử dụng công thức:

\(a cos \theta + b sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} cos \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} sin \theta \right)\)

Đặt \( cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) và \( sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) (với \( \alpha \) là một góc xác định), ta có:

\(a cos \theta + b sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} (cos \alpha cos \theta + sin \alpha sin \theta) = \sqrt{a^2 + b^2} cos(\theta – \alpha)\)

Trong trường hợp của chúng ta, \( a = 4 \) và \( b = 3 \). Vậy:

\( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

Do đó, \(4 cos 2x + 3 sin 2x = 5 cos(2x – \alpha)\) với \( cos \alpha = \frac{4}{5} \) và \( sin \alpha = \frac{3}{5} \).

Ta biết rằng giá trị lớn nhất của \(cos(\phi)\) là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1, với mọi \( \phi \).

Vì vậy, giá trị lớn nhất của \(5 cos(2x – \alpha)\) là \(5 \times 1 = 5\), và giá trị nhỏ nhất là \(5 \times (-1) = -5\).

Bây giờ, quay trở lại hàm số \(y\):

\(y = 3 + (4 cos 2x + 3 sin 2x)\)

Giá trị lớn nhất của \(y\) là \(M\):

\(M = 3 + (\text{giá trị lớn nhất của } 4 cos 2x + 3 sin 2x)\)
\(M = 3 + 5 = 8\)

Giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(m\):

\(m = 3 + (\text{giá trị nhỏ nhất của } 4 cos 2x + 3 sin 2x)\)
\(m = 3 + (-5) = -2\)

Vậy, ta có \(M = 8\) và \(m = -2\).

Cuối cùng, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức \(P = 2M + 3m\).

\(P = 2 \times 8 + 3 \times (-2)\)

\(P = 16 – 6\)

\(P = 10\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(P\) là 10.

Các em đã hiểu bài toán này chưa? Quan trọng là chúng ta phải nhận ra cách biến đổi hàm số và áp dụng công thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng \(a cos \theta + b sin \theta\). Nếu có câu hỏi gì, cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé!