Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, một phương pháp rất hiệu quả và thường dùng trong chương trình Toán 9 của chúng ta.

Đề bài: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

\(3,3x + 4,2y = 1\) (1)
\(9x + 14y = 4\) (2)

Các em hãy cùng theo dõi các bước giải chi tiết nhé!

Bước 1: Chuyển đổi các phương trình để loại bỏ số thập phân và tìm hệ số chung.

Để việc tính toán dễ dàng hơn, chúng ta nên chuyển phương trình (1) về dạng không có số thập phân bằng cách nhân cả hai vế với 10.

Từ phương trình (1):

\(10 \times (3,3x + 4,2y) = 10 \times 1\)
\(33x + 42y = 10\) (1′)

Vậy, hệ phương trình ban đầu trở thành:

\(33x + 42y = 10\) (1′)
\(9x + 14y = 4\) (2′)

Bước 2: Chọn ẩn để triệt tiêu và tìm bội chung nhỏ nhất của các hệ số.

Chúng ta có thể triệt tiêu ẩn \(x\) hoặc ẩn \(y\). Hãy quan sát các hệ số:

• Với ẩn \(x\): hệ số là 33 và 9. Bội chung nhỏ nhất của 33 và 9 là 99.
• Với ẩn \(y\): hệ số là 42 và 14. Ta thấy rằng \(42 = 3 \times 14\). Như vậy, nếu nhân phương trình (2′) với 3, hệ số của \(y\) sẽ là 42, bằng với hệ số của \(y\) trong phương trình (1′). Đây là cách đơn giản hơn!

Chúng ta sẽ chọn triệt tiêu ẩn \(y\).

Bước 3: Nhân các phương trình với các số thích hợp để các hệ số của ẩn \(y\) (hoặc \(x\)) trở nên đối nhau hoặc bằng nhau.

Nhân cả hai vế của phương trình (2′) với 3:

\(3 \times (9x + 14y) = 3 \times 4\)
\(27x + 42y = 12\) (2”)

Bây giờ hệ phương trình của chúng ta là:

\(33x + 42y = 10\) (1′)
\(27x + 42y = 12\) (2”)

Bước 4: Cộng hoặc trừ các phương trình để loại bỏ một ẩn.

Vì hệ số của \(y\) trong (1′) và (2”) là bằng nhau (cùng là \(+42\)), chúng ta sẽ trừ phương trình (2”) cho phương trình (1′) (hoặc ngược lại) để triệt tiêu ẩn \(y\).

Lấy phương trình (1′) trừ phương trình (2”):

\((33x + 42y) – (27x + 42y) = 10 – 12\)
\(33x + 42y – 27x – 42y = -2\)
\( (33x – 27x) + (42y – 42y) = -2 \)
\(6x = -2\)

Bước 5: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được.

Từ \(6x = -2\), ta tìm được giá trị của \(x\):

\(x = \frac{-2}{6}\)
\(x = -\frac{1}{3}\)

Bước 6: Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong các phương trình ban đầu (hoặc đã biến đổi) để tìm ẩn còn lại.

Chúng ta thay \(x = -\frac{1}{3}\) vào phương trình (2) ban đầu vì nó có các hệ số là số nguyên và tương đối đơn giản:

\(9x + 14y = 4\)
\(9 \times \left(-\frac{1}{3}\right) + 14y = 4\)
\(-3 + 14y = 4\)

Chuyển -3 sang vế phải:

\(14y = 4 + 3\)
\(14y = 7\)

Tìm \(y\):

\(y = \frac{7}{14}\)
\(y = \frac{1}{2}\)

Bước 7: Kiểm tra lại nghiệm (tùy chọn nhưng rất nên làm).

Thay \(x = -\frac{1}{3}\) và \(y = \frac{1}{2}\) vào cả hai phương trình gốc để đảm bảo chúng thỏa mãn.

Với phương trình (1): \(3,3x + 4,2y = 1\)

\(3,3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) + 4,2 \times \left(\frac{1}{2}\right)\)
\(= -\frac{3,3}{3} + \frac{4,2}{2}\)
\(= -1,1 + 2,1\)
\(= 1\) (Đúng với vế phải của phương trình (1))

Với phương trình (2): \(9x + 14y = 4\)

\(9 \times \left(-\frac{1}{3}\right) + 14 \times \left(\frac{1}{2}\right)\)
\(= -3 + 7\)
\(= 4\) (Đúng với vế phải của phương trình (2))

Cả hai phương trình đều thỏa mãn, vậy nghiệm của chúng ta là chính xác!

Kết luận:

Vậy, tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là \((x; y) = \left(-\frac{1}{3}; \frac{1}{2}\right)\).

Các em nhớ luyện tập thường xuyên để thành thạo phương pháp này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc các bạn. Chúc các em học tốt!