Xin chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em đi giải một bài toán rút gọn biểu thức và tính giá trị khá thú vị. Các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Đề bài: Cho \(A=(x^2+1)/x+(x^3-1)/(x^2-x)+(x^4-x^3+x-1)/(x-x^3)\) \(;\) \((x>0.x\)\(\neq\)\(1)\)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A biết \(x^2+x=12\).

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức A:

Trước hết, chúng ta cần phân tích và rút gọn từng phân thức trong biểu thức A.

Phân thức thứ nhất:

\((x^2+1)/x\)

Phân thức này đã ở dạng tối giản.

Phân thức thứ hai:

\((x^3-1)/(x^2-x)\)

Tử thức: \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\) (hằng đẳng thức hiệu hai lập phương)

Mẫu thức: \(x^2-x = x(x-1)\)

Vậy, phân thức thứ hai là: \(((x-1)(x^2+x+1))/(x(x-1))\)

Với điều kiện \(x \neq 0\) và \(x \neq 1\), ta có thể rút gọn (x-1):

\((x^2+x+1)/x\)

Phân thức thứ ba:

\((x^4-x^3+x-1)/(x-x^3)\)

Tử thức: \(x^4-x^3+x-1 = x^3(x-1) + (x-1) = (x^3+1)(x-1)\)

Mẫu thức: \(x-x^3 = x(1-x^2) = x(1-x)(1+x)\)

Vậy, phân thức thứ ba là: \(((x^3+1)(x-1))/(x(1-x)(1+x))\)

Ta nhận thấy \(1-x = -(x-1)\), nên mẫu thức có thể viết lại là: \(-x(x-1)(1+x)\)

Do đó, phân thức thứ ba là: \(((x^3+1)(x-1))/(-x(x-1)(1+x))\)

Với điều kiện \(x \neq 0\) và \(x \neq 1\), ta có thể rút gọn (x-1):

\((x^3+1)/(-x(1+x))\)

Ta biết \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\) (hằng đẳng thức tổng hai lập phương).

Vậy, phân thức thứ ba trở thành: \(((x+1)(x^2-x+1))/(-x(1+x))\)

Với điều kiện \(x \neq -1\) (điều này đã được đảm bảo vì đề bài cho \(x>0\)), ta có thể rút gọn (x+1):

\((x^2-x+1)/(-x)\) = \(-(x^2-x+1))/x = (-x^2+x-1)/x\)

Bây giờ, chúng ta thay các phân thức đã rút gọn vào biểu thức A:

A = \((x^2+1)/x + (x^2+x+1)/x + (-x^2+x-1)/x\)

Vì các phân thức có cùng mẫu số là x, ta cộng các tử thức lại:

A = \(((x^2+1) + (x^2+x+1) + (-x^2+x-1))/x\)

A = \((x^2+1 + x^2+x+1 – x^2+x-1)/x\)

Gom các số hạng tương tự ở tử thức:

A = \(( (x^2+x^2-x^2) + (x+x) + (1+1-1) )/x\)

A = \((x^2 + 2x + 1)/x\)

Tử thức là một hằng đẳng thức: \(x^2+2x+1 = (x+1)^2\)

Vậy, biểu thức A sau khi rút gọn là: \(A = (x+1)^2/x\)

b) Tính giá trị của A biết \(x^2+x=12\):

Chúng ta có \(x^2+x=12\).

Từ biểu thức A đã rút gọn là \(A = (x+1)^2/x\). Ta cần tìm cách liên hệ với điều kiện \(x^2+x=12\).

Ta có thể biến đổi tử thức của A:

\((x+1)^2 = x^2+2x+1\)

Bây giờ, ta có thể viết lại tử thức dưới dạng liên quan đến \(x^2+x\):

\(x^2+2x+1 = (x^2+x) + x + 1\)

Thay \(x^2+x=12\) vào biểu thức trên:

\((x^2+x) + x + 1 = 12 + x + 1 = x + 13\)

Vậy, tử thức của A bằng \(x+13\).

Do đó, \(A = (x+13)/x\).

Ta có thể tách phân thức này thành:

A = \(x/x + 13/x\)

A = \(1 + 13/x\)

Tuy nhiên, cách này vẫn còn chứa x. Chúng ta hãy thử một cách khác thông minh hơn!

Quay lại \(A = (x+1)^2/x\). Ta có thể biến đổi A như sau:

A = \((x^2+2x+1)/x\)

Ta chia từng số hạng ở tử cho mẫu:

A = \(x^2/x + 2x/x + 1/x\)

A = \(x + 2 + 1/x\)

Bây giờ, ta cần tính giá trị của \(x + 1/x\) từ \(x^2+x=12\).

Từ \(x^2+x=12\), vì \(x>0\), ta có thể chia cả hai vế cho x:

\((x^2+x)/x = 12/x\)

\(x^2/x + x/x = 12/x\)

\(x + 1 = 12/x\)

Điều này có vẻ không giúp ích trực tiếp để tìm \(1/x\).

Chúng ta quay lại \(x + 1 = 12/x\). Ta nhân cả hai vế với x để có:

\(x(x+1) = 12\)

\(x^2+x=12\). Điều này quay lại giả thiết.

Hãy nhìn vào \(A = x + 2 + 1/x\). Ta có thể nhóm \(x + 1/x\).

Từ \(x^2+x=12\). Vì \(x \neq 0\), ta chia cả hai vế cho x:

\(x + 1 = 12/x\)

Bây giờ, ta muốn tìm \(1/x\). Từ phương trình này, ta có:

\(1/x = (x+1)/12\)

Thế biểu thức này vào A:

A = \(x + 2 + (x+1)/12\)

A = \(x + 2 + x/12 + 1/12\)

A = \((12x + 24 + x + 1)/12\)

A = \((13x + 25)/12\). Cách này vẫn phụ thuộc vào x.

Chúng ta hãy thử một hướng khác từ \(x^2+x=12\).

Ta có thể giải phương trình bậc hai này để tìm giá trị của x:

\(x^2+x-12=0\)

Ta tìm hai số có tích là -12 và tổng là 1. Đó là 4 và -3.

\(x^2+4x-3x-12=0\)

\(x(x+4)-3(x+4)=0\)

\((x-3)(x+4)=0\)

Do đó, \(x=3\) hoặc \(x=-4\).

Đề bài cho điều kiện \(x>0\), nên ta chọn \(x=3\).

Bây giờ, chúng ta có \(x=3\). Chúng ta sẽ tính giá trị của A với \(x=3\).

Sử dụng biểu thức A đã rút gọn: \(A = (x+1)^2/x\)

Thế \(x=3\) vào biểu thức A:

A = \((3+1)^2 / 3\)

A = \(4^2 / 3\)

A = \(16 / 3\)

Vậy, giá trị của A là \(16/3\).

Kiểm tra lại:

Với \(x=3\), \(x^2+x = 3^2+3 = 9+3 = 12\). Điều kiện đề bài thỏa mãn.

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này! Các em thấy không, đôi khi việc tìm ra giá trị cụ thể của biến sẽ giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn.