Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn thức. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các kiến thức về căn bậc hai, hằng đẳng thức đáng nhớ và quy tắc cộng trừ phân thức.

Đề bài cho biểu thức:

\(A = (\sqrt{x})/(\sqrt{x} – 1) + (1)/(\sqrt{x} + 1) – (2)/(x − 1)\),

với điều kiện: \(x \ge 0, x \ne 1\).

Chúng ta sẽ thực hiện từng phần của bài toán một cách chi tiết nhé!

Để rút gọn biểu thức \(A\), việc đầu tiên và quan trọng nhất là chúng ta cần tìm mẫu thức chung của các phân số. Hãy quan sát các mẫu thức:

• Mẫu thức thứ nhất: \((\sqrt{x} – 1)\)
• Mẫu thức thứ hai: \((\sqrt{x} + 1)\)
• Mẫu thức thứ ba: \((x – 1)\)

Các em có nhận ra mối liên hệ giữa các mẫu thức này không?

Chính xác! Mẫu thức \((x – 1)\) có thể được viết lại dưới dạng hằng đẳng thức đáng nhớ: hiệu hai bình phương.

Ta có: \(x – 1 = (\sqrt{x})^2 – (1)^2 = (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)\).

Như vậy, mẫu thức chung nhỏ nhất (MTC) của ba phân số chính là \((x – 1)\) hay \(((\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1))\).

Bây giờ, chúng ta sẽ quy đồng các phân số về cùng MTC:

Phân số thứ nhất: \((\sqrt{x})/(\sqrt{x} – 1)\)

Để có MTC là \((x – 1)\), ta cần nhân cả tử và mẫu với \(((\sqrt{x} + 1))\):

\((\sqrt{x})/(\sqrt{x} – 1) = (\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1) / ((\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1))\)

\( = (x + \sqrt{x}) / (x – 1)\)

Phân số thứ hai: \((1)/(\sqrt{x} + 1)\)

Để có MTC là \((x – 1)\), ta cần nhân cả tử và mẫu với \(((\sqrt{x} – 1))\):

\((1)/(\sqrt{x} + 1) = (1)(\sqrt{x} – 1) / ((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1))\)

\( = (\sqrt{x} – 1) / (x – 1)\)

Phân số thứ ba: \((2)/(x – 1)\)

Phân số này đã có mẫu thức chung rồi, chúng ta giữ nguyên:

\((2)/(x – 1)\)

Bây giờ, chúng ta thay các phân số đã quy đồng vào biểu thức \(A\):

\(A = (x + \sqrt{x}) / (x – 1) + (\sqrt{x} – 1) / (x – 1) – (2) / (x – 1)\)

Vì các phân số đã có cùng mẫu, chúng ta tiến hành cộng trừ các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức:

\(A = ( (x + \sqrt{x}) + (\sqrt{x} – 1) – 2 ) / (x – 1)\)

Tiếp theo, hãy mở ngoặc và thu gọn tử thức:

Tử thức = \(x + \sqrt{x} + \sqrt{x} – 1 – 2\)

Tử thức = \(x + (1+1)\sqrt{x} – (1+2)\)

Tử thức = \(x + 2\sqrt{x} – 3\)

Vậy, biểu thức \(A\) trở thành:

\(A = (x + 2\sqrt{x} – 3) / (x – 1)\)

Để biểu thức được rút gọn triệt để, chúng ta cần xem xét liệu tử thức có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn với mẫu thức hay không.

Tử thức là \(x + 2\sqrt{x} – 3\). Đây là một dạng tam thức bậc hai đối với \(\sqrt{x}\).

Chúng ta có thể nghĩ đến việc đặt \(t = \sqrt{x}\) (với \(t \ge 0\)). Khi đó, tử thức trở thành \(t^2 + 2t – 3\).

Để phân tích \(t^2 + 2t – 3\) thành nhân tử, chúng ta tìm hai số có tích bằng -3 và tổng bằng 2. Đó là 3 và -1.

Vậy: \(t^2 + 2t – 3 = (t + 3)(t – 1)\)

Thay \(t = \sqrt{x}\) trở lại, ta được:

Tử thức = \((\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} – 1)\)

Bây giờ, thay tử thức đã phân tích vào biểu thức \(A\):

\(A = ((\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} – 1)) / ((\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1))\)

Vì điều kiện ban đầu là \(x \ne 1\), nên \(\sqrt{x} \ne 1\), suy ra \((\sqrt{x} – 1) \ne 0\). Do đó, chúng ta có thể rút gọn nhân tử chung \((\sqrt{x} – 1)\) ở cả tử và mẫu.

\(A = (\sqrt{x} + 3) / (\sqrt{x} + 1)\)

Đây chính là biểu thức \(A\) sau khi đã được rút gọn hoàn chỉnh!

Để tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\), chúng ta sẽ sử dụng biểu thức \(A\) đã rút gọn ở câu a). Điều này sẽ giúp việc tính toán đơn giản hơn rất nhiều và ít mắc lỗi hơn.

Đầu tiên, hãy kiểm tra điều kiện xác định với \(x = 4\):

\(x = 4\) thỏa mãn \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

Bây giờ, chúng ta thay \(x = 4\) vào biểu thức \(A = (\sqrt{x} + 3) / (\sqrt{x} + 1)\):

\(A = (\sqrt{4} + 3) / (\sqrt{4} + 1)\)

Tính giá trị của \(\sqrt{4}\):

\(\sqrt{4} = 2\)

Thay vào biểu thức của \(A\):

\(A = (2 + 3) / (2 + 1)\)

\(A = 5 / 3\)

Vậy, khi \(x = 4\), giá trị của biểu thức \(A\) là \(5/3\).

Tóm tắt kết quả:

• a) Biểu thức \(A\) sau khi rút gọn là: \(A = (\sqrt{x} + 3) / (\sqrt{x} + 1)\)
• b) Giá trị của \(A\) khi \(x = 4\) là: \(A = 5/3\)

Các em nhớ ôn tập lại các bước làm bài dạng này, đặc biệt là việc tìm mẫu thức chung và phân tích tử thức để rút gọn nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô hoặc bạn bè!

Chúc các em học tốt!