Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác, một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán 10. Bài toán chúng ta cần giải quyết là: “Chu kì tuần hoàn của hàm \(y = \sin 2x\) là bao nhiêu?”

Để giải quyết bài toán này một cách chi tiết, thầy sẽ hướng dẫn các em theo các bước sau:

1. Nhắc lại về khái niệm chu kì tuần hoàn:

Một hàm số \(f(x)\) được gọi là tuần hoàn với chu kì \(T > 0\) nếu \(f(x+T) = f(x)\) với mọi \(x\) trong tập xác định của hàm số, và \(T\) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đó.

2. Nhắc lại về chu kì của hàm số lượng giác cơ bản:

– Hàm số \(y = \sin x\) có chu kì tuần hoàn là \(2\pi\). Điều này có nghĩa là \( \sin(x + 2\pi) = \sin x \).

– Tương tự, hàm số \(y = \cos x\) cũng có chu kì tuần hoàn là \(2\pi\).

– Hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) có chu kì tuần hoàn là \( \pi \).

3. Công thức tổng quát để tìm chu kì của hàm số \(y = \sin(ax + b)\):

Đối với hàm số có dạng \(y = \sin(ax + b)\) hoặc \(y = \cos(ax + b)\), chu kì tuần hoàn \(T\) được xác định bởi công thức:

\(T = \frac{2\pi}{|a|}\)

Trong đó, \(a\) là hệ số của \(x\) (và \(a \neq 0\)). Chúng ta lấy giá trị tuyệt đối của \(a\) để đảm bảo chu kì \(T\) luôn là một số dương.

4. Áp dụng công thức vào bài toán \(y = \sin 2x\):

Bây giờ, chúng ta hãy áp dụng công thức trên vào hàm số đã cho là \(y = \sin 2x\).

So sánh hàm số \(y = \sin 2x\) với dạng tổng quát \(y = \sin(ax + b)\), chúng ta có thể thấy:

– Hệ số của \(x\) là \(a = 2\).

– Hằng số \(b = 0\) (vì không có số hạng cộng thêm vào \(2x\)).

Thay giá trị \(a = 2\) vào công thức tính chu kì \(T = \frac{2\pi}{|a|}\), ta được:

\(T = \frac{2\pi}{|2|}\)

\(T = \frac{2\pi}{2}\)

\(T = \pi\)

5. Giải thích chi tiết (chứng minh) vì sao chu kì lại là \( \pi \):

Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy dùng định nghĩa chu kì tuần hoàn.

Chúng ta cần tìm số dương \(T\) nhỏ nhất sao cho \(f(x+T) = f(x)\) với \(f(x) = \sin 2x\).

Điều này có nghĩa là:

\( \sin(2(x+T)) = \sin 2x \)

\( \Leftrightarrow \sin(2x + 2T) = \sin 2x \)

Chúng ta đã biết rằng hàm số \( \sin u \) tuần hoàn với chu kì \(2\pi\), tức là \( \sin(u + k2\pi) = \sin u \) với mọi số nguyên \(k\).

Từ đó, để \( \sin(2x + 2T) = \sin 2x \), thì \(2T\) phải là một bội số nguyên của \(2\pi\). Nói cách khác:

\( 2T = k \cdot 2\pi \), với \(k\) là một số nguyên khác 0.

Để tìm chu kì \(T\) (là số dương nhỏ nhất), chúng ta sẽ chọn \(k = 1\).

\( 2T = 1 \cdot 2\pi \)

\( 2T = 2\pi \)

\( T = \frac{2\pi}{2} \)

\( T = \pi \)

Kết luận:

Vậy, chu kì tuần hoàn của hàm số \(y = \sin 2x\) là \( \pi \).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách xác định chu kì của hàm số lượng giác. Hãy ghi nhớ công thức và cách chứng minh để áp dụng vào các bài tập khác nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!

Chúc các em học tốt!