Chào các em học sinh lớp 7 yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng toán khá thú vị về tỉ lệ thức và hệ phương trình. Các em chú ý lắng nghe và ghi chép đầy đủ nhé!

—

Bài 1:

Cho các điều kiện: \( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \); \( 3z = 5y \) và \( 2x – 3y + z = 6 \).

Phân tích đề bài:

Chúng ta có một hệ ba phương trình với ba ẩn là x, y, z. Hai phương trình đầu là các tỉ lệ thức hoặc mối quan hệ tuyến tính giữa các biến. Phương trình thứ ba là một biểu thức tuyến tính kết hợp cả ba biến.

Cách giải:

Bước 1: Biểu diễn các biến theo một biến chung.

Từ \( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \), ta có thể suy ra mối quan hệ giữa x và y. Để dễ dàng hơn, chúng ta sẽ đưa tất cả các biến về cùng một mẫu số chung hoặc quy về một tỉ lệ thức chung.

Ta có \( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \). Từ đó, ta suy ra \( x = \frac{3}{4}y \).

Từ \( 3z = 5y \), ta suy ra \( z = \frac{5}{3}y \).

Như vậy, chúng ta đã biểu diễn x và z theo y.

Bước 2: Thay thế vào phương trình thứ ba.

Phương trình thứ ba là \( 2x – 3y + z = 6 \).
Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( x = \frac{3}{4}y \) và \( z = \frac{5}{3}y \) vào phương trình này:

\( 2 \left( \frac{3}{4}y \right) – 3y + \frac{5}{3}y = 6 \)

Bước 3: Giải phương trình cho biến y.

\( \frac{6}{4}y – 3y + \frac{5}{3}y = 6 \)
\( \frac{3}{2}y – 3y + \frac{5}{3}y = 6 \)

Để cộng trừ các phân số, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 2 và 3 là 6.

\( \frac{3 \times 3}{2 \times 3}y – \frac{3 \times 6}{1 \times 6}y + \frac{5 \times 2}{3 \times 2}y = 6 \)
\( \frac{9}{6}y – \frac{18}{6}y + \frac{10}{6}y = 6 \)
\( \frac{9 – 18 + 10}{6}y = 6 \)
\( \frac{1}{6}y = 6 \)

Nhân cả hai vế với 6 để tìm y:
\( y = 6 \times 6 \)
\( y = 36 \)

Bước 4: Tìm x và z.

Bây giờ chúng ta đã có giá trị của y, chúng ta có thể dễ dàng tìm x và z:

\( x = \frac{3}{4}y = \frac{3}{4} \times 36 = 3 \times 9 = 27 \)
\( z = \frac{5}{3}y = \frac{5}{3} \times 36 = 5 \times 12 = 60 \)

Kiểm tra lại:

Thay x = 27, y = 36, z = 60 vào phương trình thứ ba:
\( 2x – 3y + z = 2(27) – 3(36) + 60 = 54 – 108 + 60 = -54 + 60 = 6 \) (Đúng)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: x = 27, y = 36, z = 60.

—

Bài 2:

Cho các điều kiện: \( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \); \( 7y = 5z \) và \( 2x + 3y – z = 186 \).

Cách giải:

Bước 1: Biểu diễn các biến theo một biến chung.

Từ \( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \), ta có \( x = \frac{3}{4}y \).

Từ \( 7y = 5z \), ta có \( z = \frac{7}{5}y \).

Bước 2: Thay thế vào phương trình thứ ba.

Phương trình thứ ba là \( 2x + 3y – z = 186 \).
Thay \( x = \frac{3}{4}y \) và \( z = \frac{7}{5}y \) vào phương trình này:

\( 2 \left( \frac{3}{4}y \right) + 3y – \frac{7}{5}y = 186 \)

Bước 3: Giải phương trình cho biến y.

\( \frac{6}{4}y + 3y – \frac{7}{5}y = 186 \)
\( \frac{3}{2}y + 3y – \frac{7}{5}y = 186 \)

Quy đồng mẫu số cho 2 và 5, mẫu số chung là 10.

\( \frac{3 \times 5}{2 \times 5}y + \frac{3 \times 10}{1 \times 10}y – \frac{7 \times 2}{5 \times 2}y = 186 \)
\( \frac{15}{10}y + \frac{30}{10}y – \frac{14}{10}y = 186 \)
\( \frac{15 + 30 – 14}{10}y = 186 \)
\( \frac{31}{10}y = 186 \)

Nhân cả hai vế với \( \frac{10}{31} \) để tìm y:
\( y = 186 \times \frac{10}{31} \)

Ta thấy \( 186 = 31 \times 6 \).
\( y = 6 \times 10 \)
\( y = 60 \)

Bước 4: Tìm x và z.

\( x = \frac{3}{4}y = \frac{3}{4} \times 60 = 3 \times 15 = 45 \)
\( z = \frac{7}{5}y = \frac{7}{5} \times 60 = 7 \times 12 = 84 \)

Kiểm tra lại:

Thay x = 45, y = 60, z = 84 vào phương trình thứ ba:
\( 2x + 3y – z = 2(45) + 3(60) – 84 = 90 + 180 – 84 = 270 – 84 = 186 \) (Đúng)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: x = 45, y = 60, z = 84.

—

Bài 3:

Cho các điều kiện: \( \frac{x}{5} = y \); \( -2y = z \) và \( -x – y + 2z = 160 \).

Cách giải:

Bước 1: Biểu diễn các biến theo một biến chung.

Từ \( \frac{x}{5} = y \), ta có \( x = 5y \).

Từ \( -2y = z \), ta có \( z = -2y \).

Bước 2: Thay thế vào phương trình thứ ba.

Phương trình thứ ba là \( -x – y + 2z = 160 \).
Thay \( x = 5y \) và \( z = -2y \) vào phương trình này:

\( -(5y) – y + 2(-2y) = 160 \)

Bước 3: Giải phương trình cho biến y.

\( -5y – y – 4y = 160 \)
\( (-5 – 1 – 4)y = 160 \)
\( -10y = 160 \)

Chia cả hai vế cho -10 để tìm y:
\( y = \frac{160}{-10} \)
\( y = -16 \)

Bước 4: Tìm x và z.

\( x = 5y = 5 \times (-16) = -80 \)
\( z = -2y = -2 \times (-16) = 32 \)

Kiểm tra lại:

Thay x = -80, y = -16, z = 32 vào phương trình thứ ba:
\( -x – y + 2z = -(-80) – (-16) + 2(32) = 80 + 16 + 64 = 96 + 64 = 160 \) (Đúng)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: x = -80, y = -16, z = 32.

—

Các em thấy không, khi chúng ta đã nắm vững cách biểu diễn các biến theo một biến chung và kĩ năng thay thế, việc giải các hệ phương trình này trở nên rất dễ dàng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để tăng cường khả năng của mình nhé!

Chúc các em học tốt!