Chào các em học sinh thân mến của thầy/cô!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “mổ xẻ” một bài toán bất đẳng thức rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Bài toán không chỉ giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số mà còn củng cố tư duy logic. Đề bài của chúng ta như sau:

Cho \(a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\).

Trước khi bắt tay vào giải, chúng ta hãy cùng phân tích đề bài một chút nhé:

• Giả thiết (cái đã cho): Chúng ta biết rằng tổng của hai số \(a\) và \(b\) bằng 1, tức là \(a + b = 1\). Đây là “chìa khóa” mà đề bài cung cấp cho chúng ta.
• Kết luận (cái cần chứng minh): Chúng ta cần chứng minh rằng tổng các bình phương của \(a\) và \(b\) luôn lớn hơn hoặc bằng \( \frac{1}{2} \), tức là \(a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\).

Để chứng minh một bất đẳng thức, có rất nhiều phương pháp. Với bài toán này, một trong những cách hiệu quả nhất là phương pháp thế kết hợp với việc biến đổi về dạng bình phương của một biểu thức, vì chúng ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm.

Thầy/cô sẽ trình bày lời giải chi tiết từng bước một. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biểu diễn một biến theo biến còn lại từ giả thiết.
Từ giả thiết của bài toán, chúng ta có:

\(a + b = 1\)

Chúng ta có thể rút ra biểu thức cho \(b\) theo \(a\) (hoặc ngược lại, rút \(a\) theo \(b\)). Chẳng hạn, chúng ta sẽ biểu diễn \(b\) qua \(a\):

\(b = 1 – a\)

Bước 2: Thay thế vào biểu thức cần chứng minh.
Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(b\) mà chúng ta vừa tìm được vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh, tức là vào \(a^2 + b^2\):

\(a^2 + b^2 = a^2 + (1 – a)^2\)

Bước 3: Khai triển và rút gọn biểu thức.
Chúng ta khai triển hằng đẳng thức \((1 – a)^2\). Các em còn nhớ hằng đẳng thức \((X – Y)^2 = X^2 – 2XY + Y^2\) chứ?

Áp dụng vào \((1 – a)^2\), ta có:

\((1 – a)^2 = 1^2 – 2 \cdot 1 \cdot a + a^2 = 1 – 2a + a^2\)

Vậy, biểu thức \(a^2 + (1 – a)^2\) sẽ trở thành:

\(a^2 + (1 – 2a + a^2)\)

\(= a^2 + 1 – 2a + a^2\)

Gom các hạng tử đồng dạng lại:

\(= 2a^2 – 2a + 1\)

Như vậy, chúng ta cần chứng minh rằng \(2a^2 – 2a + 1 \ge \frac{1}{2}\).

Bước 4: Biến đổi bất đẳng thức về dạng bình phương không âm.
Để chứng minh bất đẳng thức \(2a^2 – 2a + 1 \ge \frac{1}{2}\), chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử sang một vế và cố gắng đưa nó về dạng \((…)^2 \ge 0\).

Chuyển \( \frac{1}{2} \) sang vế trái:

\(2a^2 – 2a + 1 – \frac{1}{2} \ge 0\)

Thực hiện phép trừ \(1 – \frac{1}{2}\):

\(2a^2 – 2a + \frac{1}{2} \ge 0\)

Để làm cho biểu thức dễ nhìn hơn và thường là một bước để xuất hiện hằng đẳng thức, chúng ta có thể nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2 (vì 2 là số dương nên chiều của bất đẳng thức không đổi):

\(2 \cdot (2a^2 – 2a + \frac{1}{2}) \ge 2 \cdot 0\)

\(4a^2 – 4a + 1 \ge 0\)

Bây giờ, các em hãy quan sát vế trái: \(4a^2 – 4a + 1\). Đây chính là một hằng đẳng thức quen thuộc, dạng \((X – Y)^2 = X^2 – 2XY + Y^2\), với \(X = 2a\) và \(Y = 1\):

\((2a)^2 – 2 \cdot (2a) \cdot 1 + 1^2 = (2a – 1)^2\)

Vậy, bất đẳng thức của chúng ta đã được biến đổi thành:

\((2a – 1)^2 \ge 0\)

Bước 5: Kết luận.
Chúng ta biết rằng, bình phương của một số thực bất kỳ luôn luôn không âm (tức là luôn lớn hơn hoặc bằng 0). Do đó, \((2a – 1)^2 \ge 0\) là một khẳng định luôn đúng với mọi giá trị thực của \(a\).

Vì các bước biến đổi của chúng ta là tương đương, nên bất đẳng thức ban đầu \(a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\) cũng là đúng.

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Trong bất đẳng thức, việc xác định khi nào dấu bằng xảy ra là rất quan trọng để bài toán được chứng minh hoàn chỉnh. Dấu bằng xảy ra khi biểu thức \((2a – 1)^2\) bằng 0:

\((2a – 1)^2 = 0\)

Điều này có nghĩa là:

\(2a – 1 = 0\)

\(2a = 1\)

\(a = \frac{1}{2}\)

Khi \(a = \frac{1}{2}\), chúng ta sử dụng lại giả thiết \(b = 1 – a\) để tìm giá trị của \(b\):

\(b = 1 – \frac{1}{2}\)

\(b = \frac{1}{2}\)

Vậy, dấu bằng xảy ra khi \(a = b = \frac{1}{2}\).

Tổng kết:

Chúng ta đã chứng minh được rằng, với mọi số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b = 1\), thì \(a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \frac{1}{2}\).

Đây là một bài tập rất hay và là nền tảng cho nhiều bài toán bất đẳng thức phức tạp hơn. Các em hãy nắm vững phương pháp này nhé!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!