Chúng ta cùng đọc kỹ đề bài nhé:

“Bạn Lan làm 50 chiếc hộp đựng quà giống nhau để đựng quà tặng cho các bạn trong lớp dịp cuối năm học. Chiếc hộp đó có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 576 cm3. Đáy hộp là hình chữ nhật có chiều rộng x (cm), chiều dài gấp đôi chiều rộng. Các hộp quà cùng làm một loại giấy có giá 100 nghìn đồng/m2. Hãy xác định chi phí thấp nhất để bạn Lan làm 50 chiếc hộp đựng quà (coi phần giấy để ghép các mặt không đáng kể).”

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các thông số của chiếc hộp.

1. Xác định kích thước của chiếc hộp:

Gọi chiều rộng đáy hộp là \(x\) (cm).

Theo đề bài, chiều dài đáy hộp gấp đôi chiều rộng, vậy chiều dài đáy hộp là \(2x\) (cm).

Gọi chiều cao của hộp là \(h\) (cm).

2. Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật:

Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: Thể tích = Chiều dài × Chiều rộng × Chiều cao.

Ta có thể tích của chiếc hộp là 576 cm3.

Vậy ta có phương trình:

\( V = (2x) \times x \times h = 2x^2h \)

Theo đề bài, \(V = 576\).

Do đó: \(2x^2h = 576\).

Từ đây, ta có thể biểu diễn chiều cao \(h\) theo \(x\):

\( h = \frac{576}{2x^2} = \frac{288}{x^2} \)

3. Tính diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của chiếc hộp:

Để tính chi phí làm hộp, chúng ta cần tính diện tích bề mặt của chiếc hộp. Diện tích bề mặt bao gồm diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

Diện tích xung quanh (Sxq) của hình hộp chữ nhật được tính bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

Chu vi đáy là: \( P_{đáy} = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng}) = 2 \times (2x + x) = 2 \times (3x) = 6x \) (cm).

Diện tích xung quanh là: \( S_{xq} = P_{đáy} \times h = 6x \times h \).

Thay biểu thức của \(h\) vào:

\( S_{xq} = 6x \times \frac{288}{x^2} = \frac{6 \times 288}{x} = \frac{1728}{x} \) (cm²).

Diện tích hai đáy (S2đáy) của hình hộp chữ nhật.

Diện tích một đáy là: \( S_{đáy} = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} = 2x \times x = 2x^2 \) (cm²).

Diện tích hai đáy là: \( S_{2đáy} = 2 \times S_{đáy} = 2 \times (2x^2) = 4x^2 \) (cm²).

Tổng diện tích bề mặt (Stp) của một chiếc hộp là:

\( S_{tp} = S_{xq} + S_{2đáy} = \frac{1728}{x} + 4x^2 \) (cm²).

4. Xác định chi phí làm một chiếc hộp:

Giấy làm hộp có giá 100 nghìn đồng/m2. Chúng ta cần đổi đơn vị diện tích từ cm2 sang m2.

1 m = 100 cm, vậy 1 m2 = (100 cm) x (100 cm) = 10000 cm2.

Do đó, 1 cm2 = \(\frac{1}{10000}\) m2.

Diện tích bề mặt của một chiếc hộp theo đơn vị m2 là: \( S_{tp} (\text{m}^2) = \frac{1}{10000} \times \left( \frac{1728}{x} + 4x^2 \right) \).

Chi phí làm một chiếc hộp là:

\( \text{Chi phí 1 hộp} = S_{tp} (\text{m}^2) \times 100.000 \text{ (đồng/m}^2) \)

\( \text{Chi phí 1 hộp} = \frac{1}{10000} \times \left( \frac{1728}{x} + 4x^2 \right) \times 100.000 \)

\( \text{Chi phí 1 hộp} = 10 \times \left( \frac{1728}{x} + 4x^2 \right) = \frac{17280}{x} + 40x^2 \) (đồng).

5. Xác định chi phí thấp nhất để làm 50 chiếc hộp:

Tổng chi phí để làm 50 chiếc hộp là:

\( \text{Tổng chi phí} = 50 \times \left( \frac{17280}{x} + 40x^2 \right) = \frac{50 \times 17280}{x} + 50 \times 40x^2

\( \text{Tổng chi phí} = \frac{864000}{x} + 2000x^2 \) (đồng).

Để tìm chi phí thấp nhất, chúng ta cần tìm giá trị của \(x\) để hàm số chi phí đạt cực tiểu. Chúng ta có thể sử dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.

Đặt hàm số chi phí là \(C(x) = \frac{864000}{x} + 2000x^2\).

Ta cần tìm đạo hàm của \(C(x) \):

\( C'(x) = \frac{d}{dx} \left( 864000x^{-1} + 2000x^2 \right) \)

\( C'(x) = -864000x^{-2} + 4000x = -\frac{864000}{x^2} + 4000x \).

Để tìm cực trị, ta cho \(C'(x) = 0\):

\( -\frac{864000}{x^2} + 4000x = 0 \)

\( 4000x = \frac{864000}{x^2} \)

\( 4000x^3 = 864000 \)

\( x^3 = \frac{864000}{4000} = 216 \)

\( x = \sqrt[3]{216} = 6 \) (cm).

Để xác định đây là điểm cực tiểu, chúng ta có thể xét dấu của đạo hàm bậc hai hoặc xét dấu của đạo hàm bậc nhất.

Xét đạo hàm bậc hai:

\( C”(x) = \frac{d}{dx} \left( -864000x^{-2} + 4000x \right) \)

\( C”(x) = -864000 \times (-2) x^{-3} + 4000 = \frac{1728000}{x^3} + 4000 \).

Với \(x = 6\), \(C”(6) = \frac{1728000}{6^3} + 4000 = \frac{1728000}{216} + 4000 = 8000 + 4000 = 12000 > 0\).

Vì đạo hàm bậc hai dương, nên \(x = 6\) là điểm cực tiểu của hàm số chi phí.

6. Tính chi phí thấp nhất:

Khi \(x = 6\) cm, chúng ta thay giá trị này vào công thức tổng chi phí:

\( \text{Tổng chi phí thấp nhất} = \frac{864000}{6} + 2000 \times 6^2 \)

\( \text{Tổng chi phí thấp nhất} = 144000 + 2000 \times 36 \)

\( \text{Tổng chi phí thấp nhất} = 144000 + 72000 \)

\( \text{Tổng chi phí thấp nhất} = 216000 \) (đồng).

Vậy, chi phí thấp nhất để bạn Lan làm 50 chiếc hộp đựng quà là 216.000 đồng.

Đáp số: 216.000 đồng.

Các em thấy không, từ một bài toán về hình học, chúng ta đã áp dụng kiến thức về hàm số và cực trị để tìm ra giải pháp tối ưu nhất về chi phí. Đây là một ví dụ điển hình cho việc Toán học có thể giúp chúng ta giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày đấy!

Các em có câu hỏi nào không?