Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử rất thú vị. Bài này đòi hỏi chúng ta phải có một chút tinh ý để nhận ra dạng đặc biệt của nó.

Đề bài: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\((x^2+5x)^2-2.(x^2+5x)-24\)

—

Đây là một dạng bài điển hình mà chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Các em hãy theo dõi các bước giải chi tiết dưới đây nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhận diện dạng toán và đặt ẩn phụ

Quan sát đa thức đã cho, các em có thể thấy một biểu thức được lặp lại nhiều lần, đó là \((x^2+5x)\). Đây chính là “chìa khóa” giúp chúng ta đơn giản hóa bài toán. Chúng ta sẽ đặt ẩn phụ cho biểu thức này.

Đặt \(y = x^2+5x\).

Khi đó, đa thức ban đầu sẽ trở thành một đa thức bậc hai đơn giản hơn rất nhiều theo biến \(y\):

\(y^2 – 2y – 24\)

Bước 2: Phân tích đa thức theo ẩn phụ \(y\)

Bây giờ, chúng ta cần phân tích đa thức bậc hai \(y^2 – 2y – 24\) thành nhân tử. Đây là dạng tam thức bậc hai \(Ay^2+By+C\) với \(A=1, B=-2, C=-24\). Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \(C\) (\(-24\)) và tổng bằng \(B\) (\(-2\)).

Hai số đó là \(4\) và \(-6\) vì:

• \(4 \times (-6) = -24\)
• \(4 + (-6) = -2\)

Vậy, chúng ta có thể phân tích đa thức thành:

\(y^2 – 2y – 24 = (y+4)(y-6)\)

Bước 3: Thay ẩn phụ trở lại và tiếp tục phân tích (nếu có thể)

Sau khi đã phân tích theo \(y\), chúng ta sẽ thay biểu thức \((x^2+5x)\) trở lại vào vị trí của \(y\).

\((x^2+5x+4)(x^2+5x-6)\)

Bây giờ, chúng ta lại có hai đa thức bậc hai theo \(x\). Chúng ta cần kiểm tra xem liệu hai đa thức này có thể tiếp tục phân tích thành nhân tử nữa không.

Xét đa thức thứ nhất: \((x^2+5x+4)\)

Chúng ta tìm hai số có tích bằng \(4\) và tổng bằng \(5\). Hai số đó là \(1\) và \(4\).

Vậy, \((x^2+5x+4) = (x+1)(x+4)\)

Xét đa thức thứ hai: \((x^2+5x-6)\)

Chúng ta tìm hai số có tích bằng \(-6\) và tổng bằng \(5\). Hai số đó là \(-1\) và \(6\).

Vậy, \((x^2+5x-6) = (x-1)(x+6)\)

Bước 4: Kết luận

Cuối cùng, chúng ta ghép các nhân tử đã tìm được lại với nhau để có kết quả cuối cùng.

Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là:

\((x^2+5x)^2-2.(x^2+5x)-24 = (x+1)(x+4)(x-1)(x+6)\)

—

Tóm tắt các bước:

1. Đặt ẩn phụ \(y = x^2+5x\).
2. Phân tích đa thức \(y^2-2y-24\) thành \((y+4)(y-6)\).
3. Thay \(y = x^2+5x\) trở lại: \((x^2+5x+4)(x^2+5x-6)\).
4. Tiếp tục phân tích từng nhân tử:
   • \((x^2+5x+4) = (x+1)(x+4)\)
   • \((x^2+5x-6) = (x-1)(x+6)\)
5. Kết quả cuối cùng: \((x+1)(x+4)(x-1)(x+6)\).

Các em nhớ rằng, khi đặt ẩn phụ, hãy luôn kiểm tra xem các nhân tử sau khi thay ẩn phụ trở lại có thể phân tích tiếp được hay không nhé! Đó là một bước rất quan trọng để đảm bảo kết quả là phân tích triệt để nhất.

Chúc các em học tốt và luôn tìm thấy niềm vui trong môn Toán!