Chào các em học sinh lớp 12,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số, kết hợp với điều kiện về trung điểm. Đây là một dạng bài khá phổ biến trong các đề thi, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững kiến thức về phương trình hoành độ giao điểm, định lí Viète và các điều kiện hình học.

Đề bài: Tìm m để đường thẳng \(y = -2x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{x^{2}+x-1}{x}\) tại hai điểm A, B sao cho trung điểm đoạn AB thuộc trục OY.

Bài giải chi tiết:

Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số, chúng ta sẽ lập phương trình hoành độ giao điểm.

Bước 1: Tìm phương trình hoành độ giao điểm.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình của đồ thị hàm số cho gọn hơn:

\(y = \frac{x^{2}+x-1}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{x}{x} – \frac{1}{x} = x + 1 – \frac{1}{x}\)

Điều kiện xác định của hàm số là \(x \neq 0\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = -2x + m\) và đồ thị hàm số \(y = x + 1 – \frac{1}{x}\) là:

\(-2x + m = x + 1 – \frac{1}{x}\)

Vì \(x \neq 0\), ta nhân cả hai vế với \(x\) để khử mẫu:

\(-2x^2 + mx = x^2 + x – 1\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:

\(3x^2 + (1 – m)x – 1 = 0 \hspace{1cm} (*)\)

Bước 2: Điều kiện để có hai điểm phân biệt A, B.

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_A, x_B\). Điều này xảy ra khi biệt thức \(\Delta > 0\).

Ta tính \(\Delta\) của phương trình \((*)\):

\(\Delta = (1 – m)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-1)\)

\(\Delta = (1 – m)^2 + 12\)

Vì \((1 – m)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(m\), nên \((1 – m)^2 + 12 \ge 12\). Do đó, \(\Delta > 0\) luôn đúng với mọi giá trị của \(m\).

Điều này có nghĩa là đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A và B.

Ngoài ra, ta cần kiểm tra xem \(x = 0\) có phải là nghiệm của phương trình \((*)\) hay không. Nếu \(x = 0\) là nghiệm thì giao điểm sẽ không thuộc tập xác định của hàm số ban đầu.

Thay \(x = 0\) vào phương trình \((*)\):

\(3(0)^2 + (1 – m)(0) – 1 = 0\)

\(-1 = 0\) (Vô lí)

Vậy \(x = 0\) không bao giờ là nghiệm của phương trình \((*)\), đảm bảo rằng các giao điểm luôn nằm trong tập xác định của hàm số.

Bước 3: Áp dụng điều kiện về trung điểm.

Gọi \(A = (x_A, y_A)\) và \(B = (x_B, y_B)\) là tọa độ hai giao điểm.

Trung điểm \(I\) của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\).

Theo đề bài, trung điểm I thuộc trục OY. Một điểm thuộc trục OY khi và chỉ khi hoành độ của nó bằng 0.

Do đó, ta có điều kiện:

\(\frac{x_A + x_B}{2} = 0 \Rightarrow x_A + x_B = 0\)

Theo định lí Viète cho phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), tổng hai nghiệm là \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\).

Áp dụng vào phương trình \((*)\) là \(3x^2 + (1 – m)x – 1 = 0\), ta có:

\(x_A + x_B = -\frac{1 – m}{3}\)

Từ điều kiện \(x_A + x_B = 0\), ta suy ra:

\(-\frac{1 – m}{3} = 0\)

\(1 – m = 0\)

\(m = 1\)

Bước 4: Kết luận.

Với \(m = 1\), phương trình \((*)\) trở thành \(3x^2 + (1 – 1)x – 1 = 0 \Leftrightarrow 3x^2 – 1 = 0\).

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt là \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\). Tổng hai nghiệm là \(\frac{1}{\sqrt{3}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0\), thỏa mãn điều kiện trung điểm thuộc OY.

Vậy, giá trị cần tìm của \(m\) là \(1\).

Chúc các em học tốt!