Cô sẽ hướng dẫn chi tiết từng bài, các em hãy chú ý theo dõi nhé!

—

Bài 1:

Giải hệ phương trình:

\( \left \{ {{3x-2y=10} \atop {5x-8y=3}} \right. \)

Phân tích: Để sử dụng phương pháp cộng đại số, chúng ta cần làm cho hệ số của một trong hai ẩn (x hoặc y) đối nhau hoặc bằng nhau. Ở đây, ta có hệ số của y là -2 và -8. Nếu ta nhân phương trình thứ nhất với 4, ta sẽ có hệ số của y là -8, giống với phương trình thứ hai. Sau đó, ta sẽ trừ hai phương trình cho nhau để loại bỏ ẩn y.

Cách giải:

Nhân phương trình thứ nhất với 4, ta được:

\( 4(3x – 2y) = 4(10) \)
\( 12x – 8y = 40 \)

Ta có hệ phương trình mới:

\( \left \{ {{12x-8y=40} \atop {5x-8y=3}} \right. \)

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất (hoặc ngược lại, tùy ý miễn là hệ số của y giống nhau), ta được:

\( (12x – 8y) – (5x – 8y) = 40 – 3 \)
\( 12x – 8y – 5x + 8y = 37 \)
\( 7x = 37 \)
\( x = \frac{37}{7} \)

Bây giờ, ta thay giá trị của x vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm y. Thay \( x = \frac{37}{7} \) vào phương trình thứ nhất \( 3x – 2y = 10 \):

\( 3\left(\frac{37}{7}\right) – 2y = 10 \)
\( \frac{111}{7} – 2y = 10 \)
\( -2y = 10 – \frac{111}{7} \)
\( -2y = \frac{70 – 111}{7} \)
\( -2y = \frac{-41}{7} \)
\( y = \frac{-41}{7} \div (-2) \)
\( y = \frac{-41}{7} \times \frac{1}{-2} \)
\( y = \frac{41}{14} \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( \left(x, y\right) = \left(\frac{37}{7}, \frac{41}{14}\right) \).

—

Bài 2:

Giải hệ phương trình:

\( \left \{ {{5x+7y=17} \atop {x-5y=-1}} \right. \)

Phân tích: Ở đây, ta thấy hệ số của x trong phương trình thứ hai là 1. Ta có thể nhân phương trình thứ hai với 5 để hệ số của x là 5, tương ứng với phương trình thứ nhất. Sau đó, ta trừ hai phương trình để loại bỏ ẩn x.

Cách giải:

Nhân phương trình thứ hai với 5, ta được:

\( 5(x – 5y) = 5(-1) \)
\( 5x – 25y = -5 \)

Ta có hệ phương trình mới:

\( \left \{ {{5x+7y=17} \atop {5x-25y=-5}} \right. \)

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được:

\( (5x – 25y) – (5x + 7y) = -5 – 17 \)
\( 5x – 25y – 5x – 7y = -22 \)
\( -32y = -22 \)
\( y = \frac{-22}{-32} \)
\( y = \frac{11}{16} \)

Thay \( y = \frac{11}{16} \) vào phương trình thứ hai \( x – 5y = -1 \):

\( x – 5\left(\frac{11}{16}\right) = -1 \)
\( x – \frac{55}{16} = -1 \)
\( x = -1 + \frac{55}{16} \)
\( x = \frac{-16 + 55}{16} \)
\( x = \frac{39}{16} \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( \left(x, y\right) = \left(\frac{39}{16}, \frac{11}{16}\right) \).

—

Bài 3:

Giải hệ phương trình:

\( \left \{ {{2x-3y=15} \atop {3x+4y=18}} \right. \)

Phân tích: Ở đây, hệ số của x là 2 và 3, hệ số của y là -3 và 4. Ta có thể nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 2 để hệ số của x là 6. Hoặc nhân phương trình thứ nhất với 4 và phương trình thứ hai với 3 để hệ số của y là -12 và 12. Cô sẽ chọn cách làm cho hệ số của y đối nhau.

Cách giải:

Nhân phương trình thứ nhất với 4, ta được:

\( 4(2x – 3y) = 4(15) \)
\( 8x – 12y = 60 \)

Nhân phương trình thứ hai với 3, ta được:

\( 3(3x + 4y) = 3(18) \)
\( 9x + 12y = 54 \)

Ta có hệ phương trình mới:

\( \left \{ {{8x-12y=60} \atop {9x+12y=54}} \right. \)

Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ ẩn y:

\( (8x – 12y) + (9x + 12y) = 60 + 54 \)
\( 8x + 9x – 12y + 12y = 114 \)
\( 17x = 114 \)
\( x = \frac{114}{17} \)

Thay \( x = \frac{114}{17} \) vào phương trình thứ nhất \( 2x – 3y = 15 \):

\( 2\left(\frac{114}{17}\right) – 3y = 15 \)
\( \frac{228}{17} – 3y = 15 \)
\( -3y = 15 – \frac{228}{17} \)
\( -3y = \frac{15 \times 17 – 228}{17} \)
\( -3y = \frac{255 – 228}{17} \)
\( -3y = \frac{27}{17} \)
\( y = \frac{27}{17} \div (-3) \)
\( y = \frac{27}{17} \times \frac{1}{-3} \)
\( y = \frac{-9}{17} \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( \left(x, y\right) = \left(\frac{114}{17}, \frac{-9}{17}\right) \).

—

Bài 4:

Giải hệ phương trình:

\( \left \{ {{-5x+2y=4} \atop {6x-3y=7}} \right. \)

Phân tích: Hệ số của x là -5 và 6, hệ số của y là 2 và -3. Ta có thể làm cho hệ số của y đối nhau bằng cách nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 2.

Cách giải:

Nhân phương trình thứ nhất với 3, ta được:

\( 3(-5x + 2y) = 3(4) \)
\( -15x + 6y = 12 \)

Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được:

\( 2(6x – 3y) = 2(7) \)
\( 12x – 6y = 14 \)

Ta có hệ phương trình mới:

\( \left \{ {{-15x+6y=12} \atop {12x-6y=14}} \right. \)

Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ ẩn y:

\( (-15x + 6y) + (12x – 6y) = 12 + 14 \)
\( -15x + 12x + 6y – 6y = 26 \)
\( -3x = 26 \)
\( x = \frac{26}{-3} = -\frac{26}{3} \)

Thay \( x = -\frac{26}{3} \) vào phương trình thứ nhất \( -5x + 2y = 4 \):

\( -5\left(-\frac{26}{3}\right) + 2y = 4 \)
\( \frac{130}{3} + 2y = 4 \)
\( 2y = 4 – \frac{130}{3} \)
\( 2y = \frac{12 – 130}{3} \)
\( 2y = \frac{-118}{3} \)
\( y = \frac{-118}{3} \div 2 \)
\( y = \frac{-118}{3} \times \frac{1}{2} \)
\( y = \frac{-59}{3} \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( \left(x, y\right) = \left(-\frac{26}{3}, -\frac{59}{3}\right) \).

—

Bài 5:

Giải hệ phương trình:

\( \left \{ {{x-2y=1} \atop {3x+2y=11}} \right. \)

Phân tích: Ở đây, hệ số của y là -2 và 2, chúng đã đối nhau. Chúng ta chỉ cần cộng hai phương trình lại với nhau.

Cách giải:

Cộng hai phương trình lại với nhau:

\( (x – 2y) + (3x + 2y) = 1 + 11 \)
\( x + 3x – 2y + 2y = 12 \)
\( 4x = 12 \)
\( x = \frac{12}{4} \)
\( x = 3 \)

Thay \( x = 3 \) vào phương trình thứ nhất \( x – 2y = 1 \):

\( 3 – 2y = 1 \)
\( -2y = 1 – 3 \)
\( -2y = -2 \)
\( y = \frac{-2}{-2} \)
\( y = 1 \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( \left(x, y\right) = \left(3, 1\right) \).

—

Bài 6:

Giải hệ phương trình:

\( \left \{ {{2x-y=4} \atop {x+3y=9}} \right. \)

Phân tích: Hệ số của y là -1 và 3. Ta có thể nhân phương trình thứ nhất với 3 để hệ số của y là -3, đối với hệ số của y trong phương trình thứ hai là 3.

Cách giải:

Nhân phương trình thứ nhất với 3, ta được:

\( 3(2x – y) = 3(4) \)
\( 6x – 3y = 12 \)

Ta có hệ phương trình mới:

\( \left \{ {{6x-3y=12} \atop {x+3y=9}} \right. \)

Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ ẩn y:

\( (6x – 3y) + (x + 3y) = 12 + 9 \)
\( 6x + x – 3y + 3y = 21 \)
\( 7x = 21 \)
\( x = \frac{21}{7} \)
\( x = 3 \)

Thay \( x = 3 \) vào phương trình thứ hai \( x + 3y = 9 \):

\( 3 + 3y = 9 \)
\( 3y = 9 – 3 \)
\( 3y = 6 \)
\( y = \frac{6}{3} \)
\( y = 2 \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( \left(x, y\right) = \left(3, 2\right) \).

—

Bài 7:

Giải hệ phương trình:

\( \left \{ {{3x+4y=5} \atop {4x-3y=15}} \right. \)

Phân tích: Hệ số của x là 3 và 4, hệ số của y là 4 và -3. Ta có thể làm cho hệ số của y đối nhau bằng cách nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 4.

Cách giải:

Nhân phương trình thứ nhất với 3, ta được:

\( 3(3x + 4y) = 3(5) \)
\( 9x + 12y = 15 \)

Nhân phương trình thứ hai với 4, ta được:

\( 4(4x – 3y) = 4(15) \)
\( 16x – 12y = 60 \)

Ta có hệ phương trình mới:

\( \left \{ {{9x+12y=15} \atop {16x-12y=60}} \right. \)

Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ ẩn y:

\( (9x + 12y) + (16x – 12y) = 15 + 60 \)
\( 9x + 16x + 12y – 12y = 75 \)
\( 25x = 75 \)
\( x = \frac{75}{25} \)
\( x = 3 \)

Thay \( x = 3 \) vào phương trình thứ nhất \( 3x + 4y = 5 \):

\( 3(3) + 4y = 5 \)
\( 9 + 4y = 5 \)
\( 4y = 5 – 9 \)
\( 4y = -4 \)
\( y = \frac{-4}{4} \)
\( y = -1 \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( \left(x, y\right) = \left(3, -1\right) \).

—

Bài 8:

Giải hệ phương trình:

\( \left \{ {{\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1} \atop {5x-8y=3}} \right. \)

Phân tích: Trước hết, ta cần đưa phương trình thứ nhất về dạng tổng quát không có phân số. Sau đó, ta sẽ áp dụng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Quy đồng mẫu số cho phương trình thứ nhất:

\( \frac{3x – 2y}{6} = 1 \)
\( 3x – 2y = 6 \)

Ta có hệ phương trình mới:

\( \left \{ {{3x-2y=6} \atop {5x-8y=3}} \right. \)

Bây giờ, ta làm cho hệ số của y đối nhau. Nhân phương trình thứ nhất với 4:

\( 4(3x – 2y) = 4(6) \)
\( 12x – 8y = 24 \)

Ta có hệ phương trình:

\( \left \{ {{12x-8y=24} \atop {5x-8y=3}} \right. \)

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:

\( (12x – 8y) – (5x – 8y) = 24 – 3 \)
\( 12x – 5x – 8y + 8y = 21 \)
\( 7x = 21 \)
\( x = \frac{21}{7} \)
\( x = 3 \)

Thay \( x = 3 \) vào phương trình \( 3x – 2y = 6 \):

\( 3(3) – 2y = 6 \)
\( 9 – 2y = 6 \)
\( -2y = 6 – 9 \)
\( -2y = -3 \)
\( y = \frac{-3}{-2} \)
\( y = \frac{3}{2} \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( \left(x, y\right) = \left(3, \frac{3}{2}\right) \).

—

Các em thấy đấy, phương pháp cộng đại số rất tiện lợi khi chúng ta biết cách biến đổi để các hệ số của một trong hai ẩn trở nên đối nhau hoặc bằng nhau. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo phương pháp này nhé!

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô.

Chúc các em học tốt!