Chào các em học sinh!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, một kiến thức rất quan trọng của chương trình Toán lớp 9. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot của các góc nhọn B và C khi biết:

a, AB = 8cm, BC = 17 cm

b, AC = 0,9cm, AB = 1,2cm

—

Hướng dẫn chung:

Trong một tam giác vuông ABC vuông tại A, chúng ta có các định nghĩa về tỉ số lượng giác như sau:

• Với góc B:
  
  Cạnh đối của góc B là AC
  
  Cạnh kề của góc B là AB
  
  Cạnh huyền là BC
  

  \(\sin B = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}\)

  \(\cos B = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}\)

  \(\tan B = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}} = \frac{AC}{AB}\)

  \(\cot B = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh đối}} = \frac{AB}{AC}\)

• Với góc C:
  
  Cạnh đối của góc C là AB
  
  Cạnh kề của góc C là AC
  
  Cạnh huyền là BC
  

  \(\sin C = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}\)

  \(\cos C = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}\)

  \(\tan C = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}} = \frac{AB}{AC}\)

  \(\cot C = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh đối}} = \frac{AC}{AB}\)

Để tính được các tỉ số này, chúng ta cần phải biết độ dài của cả ba cạnh AB, AC và BC. Nếu thiếu một cạnh, chúng ta sẽ dùng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

—

Giải bài toán:

a, Trường hợp 1: AB = 8cm, BC = 17 cm

Bước 1: Tính độ dài cạnh còn lại (AC)

Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago, ta có:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)

\(8^2 + AC^2 = 17^2\)

\(64 + AC^2 = 289\)

\(AC^2 = 289 – 64\)

\(AC^2 = 225\)

\(AC = \sqrt{225}\)

\(AC = 15\) cm

Vậy, ba cạnh của tam giác là AB = 8cm, AC = 15cm, BC = 17cm.

Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc B

Áp dụng các công thức đã nêu ở trên:

\(\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{17}\)

\(\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{17}\)

\(\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{8}\)

\(\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15}\)

Bước 3: Tính các tỉ số lượng giác của góc C

Áp dụng các công thức đã nêu ở trên:

\(\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{17}\)

\(\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{17}\)

\(\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15}\)

\(\cot C = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{8}\)

Các em có nhận thấy mối quan hệ đặc biệt giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau B và C không? Ta có \(\sin B = \cos C\), \(\cos B = \sin C\), \(\tan B = \cot C\), \(\cot B = \tan C\).

b, Trường hợp 2: AC = 0,9cm, AB = 1,2cm

Bước 1: Tính độ dài cạnh còn lại (BC)

Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago, ta có:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)

\((1,2)^2 + (0,9)^2 = BC^2\)

\(1,44 + 0,81 = BC^2\)

\(2,25 = BC^2\)

\(BC = \sqrt{2,25}\)

\(BC = 1,5\) cm

Vậy, ba cạnh của tam giác là AB = 1,2cm, AC = 0,9cm, BC = 1,5cm.

Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc B

Áp dụng các công thức đã nêu ở trên:

\(\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{0,9}{1,5} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\)

\(\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{1,2}{1,5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\)

\(\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{0,9}{1,2} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\)

\(\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{1,2}{0,9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\)

Bước 3: Tính các tỉ số lượng giác của góc C

Áp dụng các công thức đã nêu ở trên:

\(\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{1,2}{1,5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\)

\(\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{0,9}{1,5} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\)

\(\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{1,2}{0,9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\)

\(\cot C = \frac{AC}{AB} = \frac{0,9}{1,2} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\)

—

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách tính các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!