nêu các trường hợp bằng nhau của tam giác (nêu hết thì hay nhất)
Hôm nay, thầy rất vui được cùng các em khám phá một phần kiến thức cực kỳ quan trọng và thú vị trong môn Hình học lớp 7 của chúng ta: đó là các trường hợp bằng nhau của tam giác. Kiến thức này không chỉ giúp chúng ta chứng minh hai tam giác bằng nhau một cách nhanh chóng mà còn là nền tảng để giải quyết rất nhiều bài toán hình học phức tạp sau này đấy!
Các em còn nhớ hai tam giác bằng nhau là gì không? Đúng rồi, hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có thể trùng khít lên nhau. Điều đó có nghĩa là các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau và các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Tức là, nếu \(\triangle ABC\) và \(\triangle A’B’C’\) bằng nhau, ta có:
- Ba cạnh tương ứng bằng nhau: \(AB = A’B’\), \(BC = B’C’\), \(CA = C’A’\)
- Ba góc tương ứng bằng nhau: \(\angle A = \angle A’\), \(\angle B = \angle B’\), \(\angle C = \angle C’\)
Tổng cộng là 6 yếu tố tương ứng phải bằng nhau! Tuy nhiên, việc kiểm tra cả 6 yếu tố này thì quá dài dòng và mất thời gian. Các nhà toán học đã tìm ra những “đường tắt” rất thông minh, cho phép chúng ta chỉ cần kiểm tra một vài yếu tố nhất định là đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau rồi. Đó chính là các trường hợp bằng nhau của tam giác!
Chúng ta có tổng cộng 3 trường hợp cơ bản và 1 trường hợp mở rộng cho tam giác thường, cùng với 1 trường hợp đặc biệt cho tam giác vuông. Cùng thầy đi vào chi tiết nhé!
1. Trường hợp Cạnh – Cạnh – Cạnh (c.c.c)
Đây là trường hợp đầu tiên và cũng là dễ hiểu nhất!
Phát biểu:
Nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Giải thích:
Các em hãy hình dung mình có ba que diêm với độ dài xác định. Khi các em ghép chúng lại để tạo thành một tam giác, liệu có cách nào khác để ghép chúng thành một tam giác có hình dạng khác không? Chắc chắn là không rồi! Chỉ có duy nhất một cách ghép để tạo ra một tam giác có hình dạng và kích thước cố định. Điều đó có nghĩa là, nếu độ dài ba cạnh của hai tam giác là như nhau, thì chúng phải bằng nhau.
Kí hiệu và cách trình bày:
Để chứng minh \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) theo trường hợp c.c.c, chúng ta sẽ trình bày như sau:
Xét \(\triangle ABC\) và \(\triangle A’B’C’\) có:
- \(AB = A’B’\) (giả thiết hoặc chứng minh)
- \(BC = B’C’\) (giả thiết hoặc chứng minh)
- \(CA = C’A’\) (giả thiết hoặc chứng minh)
Vậy \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) (c.c.c).
2. Trường hợp Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)
Trường hợp này phức tạp hơn một chút, các em cần chú ý đến vị trí của góc nhé!
Phát biểu:
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Giải thích:
Cụm từ “góc xen giữa” rất quan trọng! Đó là góc được tạo bởi hai cạnh mà chúng ta đang xét. Ví dụ, nếu chúng ta xét hai cạnh \(AB\) và \(AC\), thì góc xen giữa chúng chính là \(\angle A\). Nếu các em có hai que diêm với độ dài cố định và cố định góc giữa chúng, thì que diêm thứ ba nối hai đầu còn lại sẽ có độ dài duy nhất và vị trí duy nhất. Điều này tạo ra một tam giác với hình dạng và kích thước không đổi.
Kí hiệu và cách trình bày:
Để chứng minh \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) theo trường hợp c.g.c, chúng ta sẽ trình bày như sau:
Xét \(\triangle ABC\) và \(\triangle A’B’C’\) có:
- \(AB = A’B’\) (giả thiết hoặc chứng minh)
- \(\angle A = \angle A’\) (giả thiết hoặc chứng minh, và đây phải là góc xen giữa hai cạnh \(AB\) và \(AC\))
- \(AC = A’C’\) (giả thiết hoặc chứng minh)
Vậy \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) (c.g.c).
Lưu ý quan trọng: Góc phải là góc xen giữa hai cạnh! Nếu góc không xen giữa thì chưa chắc hai tam giác đã bằng nhau đâu nhé!
3. Trường hợp Góc – Cạnh – Góc (g.c.g)
Tương tự như trường hợp c.g.c, vị trí của cạnh cũng rất quan trọng trong trường hợp này!
Phát biểu:
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Giải thích:
Cụm từ “hai góc kề” có nghĩa là hai góc nằm ở hai đầu của cạnh mà chúng ta đang xét. Ví dụ, nếu chúng ta xét cạnh \(BC\), thì hai góc kề cạnh đó là \(\angle B\) và \(\angle C\). Nếu các em có một đoạn thẳng cố định và kẻ hai tia từ hai đầu đoạn thẳng đó với hai góc cho trước, thì hai tia đó sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất, tạo thành một tam giác duy nhất.
Kí hiệu và cách trình bày:
Để chứng minh \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) theo trường hợp g.c.g, chúng ta sẽ trình bày như sau:
Xét \(\triangle ABC\) và \(\triangle A’B’C’\) có:
- \(\angle B = \angle B’\) (giả thiết hoặc chứng minh, và đây là một trong hai góc kề cạnh \(BC\))
- \(BC = B’C’\) (giả thiết hoặc chứng minh, và đây là cạnh xen giữa hai góc \(\angle B\) và \(\angle C\))
- \(\angle C = \angle C’\) (giả thiết hoặc chứng minh, và đây là góc còn lại kề cạnh \(BC\))
Vậy \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) (g.c.g).
Lưu ý quan trọng: Cạnh phải là cạnh xen giữa hai góc! Nếu cạnh không xen giữa thì chưa chắc hai tam giác đã bằng nhau.
4. Trường hợp Góc – Góc – Cạnh (g.g.c)
Đây là trường hợp mở rộng từ trường hợp g.c.g.
Phát biểu:
Nếu một cạnh, một góc kề cạnh đó và một góc đối diện với cạnh đó của tam giác này bằng một cạnh, một góc kề cạnh đó và một góc đối diện với cạnh đó của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Hoặc đơn giản hơn: Nếu hai góc và một cạnh bất kỳ của tam giác này bằng hai góc và một cạnh tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Giải thích:
Chúng ta biết rằng tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng \(180^\circ\). Vì vậy, nếu chúng ta biết hai góc của một tam giác, chúng ta hoàn toàn có thể tính được góc thứ ba. Ví dụ, nếu \(\angle A = \angle A’\) và \(\angle B = \angle B’\), thì chắc chắn \(\angle C = 180^\circ – (\angle A + \angle B)\) và \(\angle C’ = 180^\circ – (\angle A’ + \angle B’)\). Do đó, \(\angle C = \angle C’\).
Như vậy, trường hợp g.g.c thực chất là biến thể của g.c.g. Nếu ta có hai góc và một cạnh không xen giữa, ta có thể suy ra góc thứ ba, và từ đó áp dụng trường hợp g.c.g. Tuy nhiên, để tiện lợi trong quá trình học và giải bài tập, chúng ta coi đây là một trường hợp riêng biệt.
Kí hiệu và cách trình bày:
Để chứng minh \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) theo trường hợp g.g.c, chúng ta sẽ trình bày như sau:
Xét \(\triangle ABC\) và \(\triangle A’B’C’\) có:
- \(\angle A = \angle A’\) (giả thiết hoặc chứng minh)
- \(\angle B = \angle B’\) (giả thiết hoặc chứng minh)
- \(BC = B’C’\) (giả thiết hoặc chứng minh, đây là cạnh đối diện với góc A và A’, hoặc \(AC = A’C’\) nếu chọn góc B và B’)
Vậy \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) (g.g.c).
5. Trường hợp đặc biệt cho Tam giác vuông: Cạnh huyền – Cạnh góc vuông (ch-cgv)
Đây là trường hợp dành riêng cho loại tam giác đặc biệt là tam giác vuông!
Phát biểu:
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Giải thích:
Trong tam giác vuông, chúng ta đã có sẵn một góc bằng \(90^\circ\). Trường hợp này thực chất là một dạng đặc biệt của trường hợp c.g.c hoặc c.c.c khi áp dụng Định lý Pythagoras.
Ví dụ, nếu chúng ta biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông, ta có thể dùng Định lý Pythagoras để tính độ dài cạnh góc vuông còn lại. Khi đó, ta sẽ có đủ ba cạnh để áp dụng trường hợp c.c.c. Hoặc, ta có thể xem xét như sau:
- Hai tam giác vuông có \(\angle A = \angle A’ = 90^\circ\).
- Nếu có \(AB = A’B’\) và cạnh huyền \(BC = B’C’\).
- Theo Định lý Pythagoras, \(AC^2 = BC^2 – AB^2\) và \(A’C’^2 = B’C’^2 – A’B’^2\).
- Do đó, \(AC = A’C’\). Vậy ta có ba cạnh bằng nhau, áp dụng c.c.c.
Vì tính chất đặc biệt và thường gặp này, người ta đưa ra trường hợp ch-cgv riêng cho tam giác vuông để tiện sử dụng.
Kí hiệu và cách trình bày:
Để chứng minh \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) (với \(\angle A = \angle A’ = 90^\circ\)) theo trường hợp ch-cgv, chúng ta sẽ trình bày như sau:
Xét \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) và \(\triangle A’B’C’\) vuông tại \(A’\) có:
- \(BC = B’C’\) (cạnh huyền, giả thiết hoặc chứng minh)
- \(AB = A’B’\) (cạnh góc vuông, giả thiết hoặc chứng minh)
Vậy \(\triangle ABC = \triangle A’B’C’\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Vậy là chúng ta đã tìm hiểu qua tất cả các trường hợp bằng nhau của tam giác rồi!
- c.c.c (Cạnh – Cạnh – Cạnh)
- c.g.c (Cạnh – Góc – Cạnh)
- g.c.g (Góc – Cạnh – Góc)
- g.g.c (Góc – Góc – Cạnh)
- ch-cgv (Cạnh huyền – Cạnh góc vuông) – Dành riêng cho tam giác vuông
Tóm lại:
Điều quan trọng nhất khi áp dụng các trường hợp này là các em phải xác định đúng các yếu tố tương ứng (cạnh với cạnh, góc với góc) và đặc biệt là vị trí của góc xen giữa hay cạnh xen giữa (đối với c.g.c và g.c.g).
Hãy ghi nhớ thật kỹ các trường hợp này và luyện tập thật nhiều bài tập để nắm vững kiến thức nhé. Khi đã thành thạo, các em sẽ thấy việc chứng minh tam giác bằng nhau trở nên dễ dàng và thú vị vô cùng!
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt!
\(***\)Tam giác thường :
\(TH1\) :Cạnh – cạnh – cạnh
\(Pb:\) Nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau
\(TH2:\) Cạnh – góc – cạnh
\(Pb\): Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau.
\(TH3:\) Góc – cạnh – góc
\(Pb:\) Nếu một cạnh và hai góc kề cạnh đó của tam giác này lần lượt bằng một cạnh và hai góc kề cạnh đó của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau.
\(***\) Tam giác vuông
\(TH1:\) Cạnh huyền – cạnh góc vuông
\(Pb:\)Cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
\(TH2:\) Cạnh huyền – góc nhọn
\(Pb:\)Cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau.
\(TH3:\)Cạnh góc vuông – góc nhọn
\(Pb:\)Một cạnh góc vuông và một góc nhọn tương ứng bằng nhau.
Các trường hợp bằng nhau của Δ :
Tam giác thường:
Trường hợp 1: c . c . c ( cạnh – cạnh – cạnh)
Trường hợp 2: c . g . c ( cạnh – góc – cạnh )
Trường hợp 3: g . c . g ( góc – cạnh – góc )
Tam giác vuông:
Trường hợp 1: ch . gn ( cạnh huyền – góc nhọn )
Trường hợp 2: ch. cgv ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment