Bài toán: Tìm các số nguyên tố \(p\) và \(q\) sao cho \(p^2 – q^2 – 1\) là một số chính phương.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một nhé.

Bước 1: Đặt điều kiện và biến đổi biểu thức.

Giả sử \(p^2 – q^2 – 1 = k^2\), trong đó \(k\) là một số tự nhiên (vì \(p^2 – q^2 – 1\) là số chính phương).

Ta có thể viết lại biểu thức này như sau:

\(p^2 – q^2 – 1 = k^2\)
\(p^2 – k^2 = q^2 + 1\)

Bước 2: Phân tích thành nhân tử.

Vế trái của phương trình là hiệu của hai bình phương, nên ta có thể phân tích thành nhân tử:

\((p – k)(p + k) = q^2 + 1\)

Bước 3: Xét các trường hợp có thể xảy ra.

Vì \(p\) và \(q\) là các số nguyên tố, nên chúng là các số tự nhiên lớn hơn 1.

Do \(p^2 – q^2 – 1 = k^2 \geq 0\), nên \(p^2 \geq q^2 + 1\). Điều này suy ra \(p > q\).

Cũng vì \(p > q\) và \(q \geq 2\), nên \(p \geq 3\).

Bây giờ, chúng ta xét các trường hợp cho \(q\):

Trường hợp 1: \(q = 2\).

Thay \(q = 2\) vào phương trình ban đầu:

\(p^2 – 2^2 – 1 = k^2\)
\(p^2 – 4 – 1 = k^2\)
\(p^2 – 5 = k^2\)
\(p^2 – k^2 = 5\)
\((p – k)(p + k) = 5\)

Vì \(p\) và \(k\) là các số tự nhiên, \(p+k > 0\). Vì tích \((p-k)(p+k) = 5 > 0\), nên \(p-k\) cũng phải dương.

Các cặp ước số nguyên dương của 5 là \((1, 5)\).

Ta có hệ phương trình:

1. \(p – k = 1\)
2. \(p + k = 5\)

Cộng hai phương trình trên lại, ta được:

\(2p = 6 \Rightarrow p = 3\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

\(2k = 4 \Rightarrow k = 2\)

Kiểm tra: \(p = 3\) là số nguyên tố. \(q = 2\) là số nguyên tố. \(p^2 – q^2 – 1 = 3^2 – 2^2 – 1 = 9 – 4 – 1 = 4 = 2^2\). Đây là một số chính phương.

Vậy, \((p, q) = (3, 2)\) là một cặp nghiệm.

Trường hợp 2: \(q\) là số nguyên tố lẻ.

Nếu \(q\) là số nguyên tố lẻ, thì \(q\) phải là một số lẻ. Do đó, \(q^2\) là một số lẻ.

Khi đó, \(q^2 + 1\) là một số chẵn.

Ta có \((p – k)(p + k) = q^2 + 1\). Vì \(q^2 + 1\) là số chẵn, nên ít nhất một trong hai thừa số \((p – k)\) hoặc \((p + k)\) phải là số chẵn.

Xét tính chẵn lẻ của \(p\):

Phụ trường hợp 2.1: \(p\) là số chẵn.

Vì \(p\) là số nguyên tố chẵn, nên \(p = 2\).

Nhưng chúng ta đã xác định ở trên rằng \(p > q\). Nếu \(p = 2\), thì \(q\) phải nhỏ hơn 2. Tuy nhiên, số nguyên tố nhỏ nhất là 2, nên không có số nguyên tố \(q\) nào thỏa mãn \(q < 2\).

Do đó, trường hợp \(p = 2\) không thể xảy ra.

Phụ trường hợp 2.2: \(p\) là số lẻ.

Nếu \(p\) là số nguyên tố lẻ, thì \(p^2\) là số lẻ.

Xét phương trình \(p^2 – q^2 – 1 = k^2\).

Nếu \(q\) là số nguyên tố lẻ, thì \(q^2\) là số lẻ. Khi đó, \(q^2 + 1\) là số chẵn.

\(p^2 – (q^2 + 1) = k^2\). Vế phải là số chính phương.

Nếu \(p\) lẻ và \(q\) lẻ, thì \(p^2\) lẻ và \(q^2\) lẻ.

\(p^2 – q^2\) là số chẵn.

\(p^2 – q^2 – 1\) là số lẻ.

Do đó, \(k^2\) phải là số lẻ, suy ra \(k\) phải là số lẻ.

Chúng ta có \((p – k)(p + k) = q^2 + 1\).

Vì \(p\) và \(k\) đều là số lẻ, nên \(p – k\) là số chẵn và \(p + k\) là số chẵn.

Đặt \(p – k = 2m\) và \(p + k = 2n\), với \(m, n\) là các số nguyên.

Khi đó, \((2m)(2n) = q^2 + 1 \Rightarrow 4mn = q^2 + 1\).

Điều này có nghĩa là \(q^2 + 1\) phải chia hết cho 4.

Tuy nhiên, nếu \(q\) là số nguyên tố lẻ, thì \(q\) có dạng \(4a + 1\) hoặc \(4a + 3\).

• Nếu \(q = 4a + 1\), thì \(q^2 = (4a + 1)^2 = 16a^2 + 8a + 1\). Do đó, \(q^2 + 1 = 16a^2 + 8a + 2 = 2(8a^2 + 4a + 1)\). Biểu thức này chia cho 4 dư 2.
• Nếu \(q = 4a + 3\), thì \(q^2 = (4a + 3)^2 = 16a^2 + 24a + 9\). Do đó, \(q^2 + 1 = 16a^2 + 24a + 10 = 2(8a^2 + 12a + 5)\). Biểu thức này cũng chia cho 4 dư 2.

Vậy, với \(q\) là số nguyên tố lẻ, \(q^2 + 1\) luôn chia cho 4 dư 2.

Điều này mâu thuẫn với \(4mn = q^2 + 1\), vì \(q^2 + 1\) phải chia hết cho 4.

Do đó, không có số nguyên tố lẻ \(q\) nào thỏa mãn điều kiện.

Bước 4: Kết luận.

Qua các trường hợp đã xét, chúng ta chỉ tìm thấy một cặp số nguyên tố \((p, q)\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán là \((3, 2)\).

Vậy, các số nguyên tố \(p\) và \(q\) cần tìm là \(p = 3\) và \(q = 2\).

Cảm ơn các em đã chú ý theo dõi!