Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau đi phân tích hai đa thức thành nhân tử. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán khó hơn.

Chúng ta bắt đầu với câu a).

Câu a) Phân tích đa thức: \( (x^2 + 9)^2 + 8x(x^2 + 9) + 12x^2 \)

Các em quan sát đa thức này. Chúng ta thấy có một biểu thức lặp lại là \( (x^2 + 9) \). Đây là dấu hiệu để chúng ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ.

Đặt \( y = x^2 + 9 \). Khi đó, đa thức của chúng ta trở thành:

\( y^2 + 8xy + 12x^2 \)

Bây giờ, chúng ta có một tam thức bậc hai theo biến \( y \). Chúng ta sẽ cố gắng phân tích tam thức này thành nhân tử. Chúng ta cần tìm hai số mà tổng của chúng bằng 8x và tích của chúng bằng \( 12x^2 \). Hai số đó là 6x và 2x.

Ta tách hạng tử \( 8xy \) thành \( 6xy + 2xy \):

\( y^2 + 6xy + 2xy + 12x^2 \)

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử lại:

\( (y^2 + 6xy) + (2xy + 12x^2) \)

Rút nhân tử chung ra từ mỗi nhóm:

\( y(y + 6x) + 2x(y + 6x) \)

Chúng ta thấy có nhân tử chung là \( (y + 6x) \). Ta rút nhân tử này ra:

\( (y + 6x)(y + 2x) \)

Bây giờ, chúng ta thay \( y = x^2 + 9 \) trở lại:

\( (x^2 + 9 + 6x)(x^2 + 9 + 2x) \)

Cuối cùng, chúng ta sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi ngoặc theo lũy thừa giảm dần của x:

\( (x^2 + 6x + 9)(x^2 + 2x + 9) \)

Các em có thể kiểm tra lại xem \( (x^2 + 6x + 9) \) có thể phân tích tiếp được không. \( x^2 + 6x + 9 \) chính là hằng đẳng thức \( (x+3)^2 \).

Vậy kết quả cuối cùng là: \( (x+3)^2 (x^2 + 2x + 9) \)

Tiếp theo, chúng ta sang câu b).

Câu b) Phân tích đa thức: \( (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4 ) – 8 \)

Với bài toán này, nếu chúng ta nhân thẳng các thừa số lại với nhau thì sẽ rất phức tạp. Chúng ta cần tìm cách nhóm các thừa số để tạo ra những biểu thức giống nhau.

Chúng ta sẽ nhóm thừa số thứ nhất với thứ tư, và thừa số thứ hai với thứ ba:

\( [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] – 8 \)

Bây giờ, chúng ta nhân các cặp thừa số trong ngoặc vuông:

\( (x^2 + 4x + x + 4)(x^2 + 3x + 2x + 6) – 8 \)
\( (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) – 8 \)

Các em thấy rằng trong hai ngoặc đơn, chúng ta đều có biểu thức \( x^2 + 5x \). Đây là lúc chúng ta nên đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán.

Đặt \( z = x^2 + 5x \). Khi đó, đa thức trở thành:

\( (z + 4)(z + 6) – 8 \)

Bây giờ, chúng ta nhân hai ngoặc đơn này lại:

\( z^2 + 6z + 4z + 24 – 8 \)
\( z^2 + 10z + 16 \)

Chúng ta cần phân tích tam thức bậc hai \( z^2 + 10z + 16 \) này thành nhân tử. Chúng ta tìm hai số mà tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng 16. Hai số đó là 8 và 2.

Ta tách hạng tử \( 10z \) thành \( 8z + 2z \):

\( z^2 + 8z + 2z + 16 \)

Nhóm các hạng tử:

\( (z^2 + 8z) + (2z + 16) \)

Rút nhân tử chung:

\( z(z + 8) + 2(z + 8) \)

Rút nhân tử chung \( (z + 8) \):

\( (z + 8)(z + 2) \)

Bây giờ, chúng ta thay \( z = x^2 + 5x \) trở lại:

\( (x^2 + 5x + 8)(x^2 + 5x + 2) \)

Chúng ta kiểm tra xem mỗi nhân tử \( (x^2 + 5x + 8) \) và \( (x^2 + 5x + 2) \) có thể phân tích tiếp được không. Đối với \( x^2 + 5x + 8 \), biệt thức \( \Delta = 5^2 – 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 – 32 = -7 < 0 \), nên không phân tích được nữa. Đối với \( x^2 + 5x + 2 \), biệt thức \( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17 > 0 \), nhưng nghiệm không đẹp, nên chúng ta để nguyên như vậy.

Vậy kết quả cuối cùng là: \( (x^2 + 5x + 8)(x^2 + 5x + 2) \)

Các em về nhà luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững kỹ năng này nhé. Có bạn nào có câu hỏi gì không?