Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về việc khai triển một dạng hằng đẳng thức rất quan trọng, đó là bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu. Các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Bài toán: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a) \( (x-y)^3 \)

b) \( (x+y)^3 \)

Lời giải:

Phần a) Khai triển \( (x-y)^3 \)

Để khai triển \( (x-y)^3 \), chúng ta có thể viết nó dưới dạng tích của ba thừa số:

\( (x-y)^3 = (x-y)(x-y)(x-y) \)

Trước tiên, chúng ta sẽ khai triển tích của hai thừa số đầu tiên: \( (x-y)(x-y) \). Đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

\( (x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân kết quả này với thừa số còn lại, tức là \( (x-y) \):

\( (x-y)^3 = (x^2 – 2xy + y^2)(x-y) \)

Để thực hiện phép nhân này, chúng ta sẽ lần lượt nhân từng hạng tử của biểu thức thứ nhất với từng hạng tử của biểu thức thứ hai:

\( (x^2 – 2xy + y^2)(x-y) = x^2 \cdot (x-y) – 2xy \cdot (x-y) + y^2 \cdot (x-y) \)

Tiếp theo, chúng ta phân phối các hạng tử:

\( = (x^2 \cdot x – x^2 \cdot y) – (2xy \cdot x – 2xy \cdot y) + (y^2 \cdot x – y^2 \cdot y) \)

Thực hiện phép nhân:

\( = (x^3 – x^2y) – (2x^2y – 2xy^2) + (xy^2 – y^3) \)

Bây giờ, chúng ta bỏ dấu ngoặc, chú ý đổi dấu các hạng tử bên trong ngoặc khi có dấu trừ đứng trước:

\( = x^3 – x^2y – 2x^2y + 2xy^2 + xy^2 – y^3 \)

Cuối cùng, chúng ta nhóm và cộng các hạng tử đồng dạng:

\( = x^3 + (-x^2y – 2x^2y) + (2xy^2 + xy^2) – y^3 \)

\( = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 \)

Vậy, hằng đẳng thức khai triển của \( (x-y)^3 \) là:

\( (x-y)^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 \)

Phần b) Khai triển \( (x+y)^3 \)

Tương tự như phần a), chúng ta có thể viết \( (x+y)^3 \) dưới dạng:

\( (x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) \)

Trước tiên, chúng ta khai triển \( (x+y)(x+y) \), đây là hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

Tiếp theo, nhân kết quả này với \( (x+y) \):

\( (x+y)^3 = (x^2 + 2xy + y^2)(x+y) \)

Phân phối các hạng tử:

\( = x^2 \cdot (x+y) + 2xy \cdot (x+y) + y^2 \cdot (x+y) \)

Thực hiện phép nhân:

\( = (x^2 \cdot x + x^2 \cdot y) + (2xy \cdot x + 2xy \cdot y) + (y^2 \cdot x + y^2 \cdot y) \)

\( = (x^3 + x^2y) + (2x^2y + 2xy^2) + (xy^2 + y^3) \)

Bỏ dấu ngoặc:

\( = x^3 + x^2y + 2x^2y + 2xy^2 + xy^2 + y^3 \)

Nhóm và cộng các hạng tử đồng dạng:

\( = x^3 + (x^2y + 2x^2y) + (2xy^2 + xy^2) + y^3 \)

\( = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)

Vậy, hằng đẳng thức khai triển của \( (x+y)^3 \) là:

\( (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)

Các em hãy ghi nhớ hai hằng đẳng thức này nhé. Chúng sẽ rất hữu ích trong các bài tập về sau.