Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay về năng suất làm việc của hai người thợ. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 3 giờ 45 phút thì xong. Nhưng họ chỉ làm chung trong ba giờ thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, người thứ hai xây tiếp bức tường còn lại trong hai giờ nữa thì xong. Hỏi nếu người thứ nhất xây một mình được nửa bức tường rồi nghỉ thì người thứ hai xây tiếp trong bao lâu sẽ xong bức tường đó?

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một.

Phân tích bài toán và đặt ẩn:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi năng suất làm việc của mỗi người thợ là lượng công việc họ làm được trong một đơn vị thời gian (ở đây là 1 giờ).

• Gọi \(x\) là phần bức tường mà người thứ nhất xây được trong 1 giờ (năng suất của người thứ nhất).
• Gọi \(y\) là phần bức tường mà người thứ hai xây được trong 1 giờ (năng suất của người thứ hai).
• Toàn bộ bức tường được coi là 1 đơn vị công việc.

Bước 1: Chuyển đổi đơn vị thời gian

Thời gian 3 giờ 45 phút cần được đổi sang đơn vị giờ để thuận tiện cho việc tính toán.

3 giờ 45 phút = \(3 + \frac{45}{60}\) giờ = \(3 + \frac{3}{4}\) giờ = \(\frac{12}{4} + \frac{3}{4}\) giờ = \(\frac{15}{4}\) giờ.

Bước 2: Lập hệ phương trình dựa trên các dữ kiện của bài toán

Dữ kiện 1: “Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 3 giờ 45 phút thì xong.”

Điều này có nghĩa là, trong 1 giờ, cả hai người cùng làm được \(x + y\) phần bức tường. Khi làm chung trong \(\frac{15}{4}\) giờ thì xong toàn bộ bức tường (tức là hoàn thành 1 đơn vị công việc).

Ta có phương trình thứ nhất:

\((x + y) \times \frac{15}{4} = 1\)

Hay: \(x + y = \frac{4}{15}\) (Phương trình 1)

Dữ kiện 2: “Họ chỉ làm chung trong ba giờ thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, người thứ hai xây tiếp bức tường còn lại trong hai giờ nữa thì xong.”

• Trong 3 giờ làm chung, lượng công việc họ làm được là: \(3 \times (x + y)\).
• Sau đó, người thứ hai làm một mình trong 2 giờ, lượng công việc người thứ hai làm được là: \(2 \times y\).
• Tổng lượng công việc cả hai giai đoạn là hoàn thành toàn bộ bức tường (1 đơn vị công việc).

Ta có phương trình thứ hai:

\(3(x + y) + 2y = 1\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm năng suất của từng người

Chúng ta có hệ phương trình sau:

1) \(x + y = \frac{4}{15}\)

2) \(3(x + y) + 2y = 1\)

Thay Phương trình 1 vào Phương trình 2, ta được:

\(3 \times \left(\frac{4}{15}\right) + 2y = 1\)

\(\frac{12}{15} + 2y = 1\)

Rút gọn phân số \(\frac{12}{15}\) ta được \(\frac{4}{5}\):

\(\frac{4}{5} + 2y = 1\)

Chuyển \(\frac{4}{5}\) sang vế phải:

\(2y = 1 – \frac{4}{5}\)

\(2y = \frac{5}{5} – \frac{4}{5}\)

\(2y = \frac{1}{5}\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(y = \frac{1}{5} \div 2\)

\(y = \frac{1}{10}\)

Vậy, năng suất của người thứ hai là \(\frac{1}{10}\) bức tường mỗi giờ.

Bây giờ, chúng ta tìm năng suất của người thứ nhất bằng cách thay giá trị của \(y\) vào Phương trình 1:

\(x + \frac{1}{10} = \frac{4}{15}\)

Chuyển \(\frac{1}{10}\) sang vế phải:

\(x = \frac{4}{15} – \frac{1}{10}\)

Để trừ hai phân số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 15 và 10, đó là 30.

\(x = \frac{4 \times 2}{15 \times 2} – \frac{1 \times 3}{10 \times 3}\)

\(x = \frac{8}{30} – \frac{3}{30}\)

\(x = \frac{5}{30}\)

Rút gọn phân số \(\frac{5}{30}\):

\(x = \frac{1}{6}\)

Vậy, năng suất của người thứ nhất là \(\frac{1}{6}\) bức tường mỗi giờ.

Bước 4: Giải quyết yêu cầu cuối cùng của bài toán

Yêu cầu: “Nếu người thứ nhất xây một mình được nửa bức tường rồi nghỉ thì người thứ hai xây tiếp trong bao lâu sẽ xong bức tường đó?”

• Người thứ nhất xây được nửa bức tường, tức là làm được \(\frac{1}{2}\) công việc.
• Phần bức tường còn lại là: \(1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) bức tường.
• Người thứ hai sẽ xây nốt \(\frac{1}{2}\) bức tường này.
• Thời gian để người thứ hai xây xong phần còn lại = (Lượng công việc còn lại) / (Năng suất của người thứ hai).

Thời gian người thứ hai cần để hoàn thành phần còn lại là:

\(T = \frac{1}{2} \div y\)

\(T = \frac{1}{2} \div \frac{1}{10}\)

\(T = \frac{1}{2} \times 10\)

\(T = 5\) giờ.

Kết luận:

Vậy, nếu người thứ nhất xây một mình được nửa bức tường rồi nghỉ thì người thứ hai sẽ xây tiếp trong 5 giờ nữa thì xong bức tường đó.

Các em thấy đó, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta phân tích kỹ lưỡng, đặt ẩn và lập phương trình đúng, thì việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng hơn nhiều. Hãy luyện tập thêm các dạng bài này để nắm vững kiến thức nhé!