Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về năng suất làm việc, một dạng bài rất hay gặp trong chương trình Toán lớp 9. Các em hãy đọc kỹ đề bài và theo dõi từng bước giải mà cô hướng dẫn dưới đây nhé!

Đề bài: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

—

Phân tích bài toán và lập các đại lượng:

Đây là bài toán liên quan đến năng suất làm việc. Chúng ta cần tìm thời gian hoàn thành công việc của mỗi người khi làm riêng lẻ.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng khái niệm “năng suất làm việc” (hay còn gọi là tốc độ làm việc). Năng suất được tính bằng phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian (ở đây là 1 giờ).

• Gọi \(\(t_1\)\) (giờ) là thời gian người thứ nhất làm riêng hoàn thành toàn bộ công việc.
• Gọi \(\(t_2\)\) (giờ) là thời gian người thứ hai làm riêng hoàn thành toàn bộ công việc.

Từ đó, chúng ta có năng suất làm việc của mỗi người:

• Năng suất của người thứ nhất (phần công việc làm được trong 1 giờ) là \(\(\frac{1}{t_1}\)\) (công việc/giờ).
• Năng suất của người thứ hai (phần công việc làm được trong 1 giờ) là \(\(\frac{1}{t_2}\)\) (công việc/giờ).

—

Lập hệ phương trình:

Chúng ta sẽ dựa vào hai dữ kiện của đề bài để lập hệ phương trình.

1. Dữ kiện thứ nhất: “Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong.”

Nếu làm chung, năng suất của hai người cộng lại là: \(\(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\)\).
Họ làm trong 16 giờ thì hoàn thành toàn bộ công việc (tức là 1 đơn vị công việc).

Vậy ta có phương trình thứ nhất:

\(\(16 \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right) = 1\)\)
Chia cả hai vế cho 16, ta được:

\(\(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{16}\)\) (Phương trình 1)

2. Dữ kiện thứ hai: “Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì hoàn thành được 25% công việc.”

Đầu tiên, chúng ta đổi 25% công việc ra dạng phân số: \(\(\frac{25}{100} = \frac{1}{4}\)\) công việc.

• Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được một lượng công việc là: \(\(3 \times \text{năng suất người 1} = 3 \times \frac{1}{t_1} = \frac{3}{t_1}\)\) (phần công việc).
• Trong 6 giờ, người thứ hai làm được một lượng công việc là: \(\(6 \times \text{năng suất người 2} = 6 \times \frac{1}{t_2} = \frac{6}{t_2}\)\) (phần công việc).

Tổng phần công việc họ làm được là \(\(\frac{1}{4}\)\).

Vậy ta có phương trình thứ hai:

\(\(\frac{3}{t_1} + \frac{6}{t_2} = \frac{1}{4}\)\) (Phương trình 2)

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:

\(\( \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{16} \quad (1) \\ \frac{3}{t_1} + \frac{6}{t_2} = \frac{1}{4} \quad (2) \end{cases} \)\)

—

Giải hệ phương trình:

Để giải hệ phương trình này, các em có thể đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc. Điều này giúp bài toán trở nên dễ nhìn và dễ giải hơn.

Đặt \(\(x = \frac{1}{t_1}\)\) và \(\(y = \frac{1}{t_2}\)\). (Với \(\(x > 0\)\) và \(\(y > 0\)\) vì thời gian hoàn thành công việc phải là số dương).

Hệ phương trình ban đầu trở thành:

\(\( \begin{cases} x + y = \frac{1}{16} \quad (3) \\ 3x + 6y = \frac{1}{4} \quad (4) \end{cases} \)\)

Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số (khử ẩn). Cô sẽ khử ẩn \(\(x\)\).

Bước 1: Nhân phương trình (3) với 3 để hệ số của \(\(x\)\) trong hai phương trình bằng nhau:

\(\(3(x + y) = 3 \times \frac{1}{16}\)\)
\(\(3x + 3y = \frac{3}{16}\)\) (Phương trình 3′)

Bước 2: Lấy phương trình (4) trừ đi phương trình (3′):

\(\((3x + 6y) – (3x + 3y) = \frac{1}{4} – \frac{3}{16}\)\)
\(\(3y = \frac{4}{16} – \frac{3}{16}\)\) (Quy đồng mẫu số cho \(\(\frac{1}{4}\)\) thành \(\(\frac{4}{16}\)\))
\(\(3y = \frac{1}{16}\)\)
\(\(y = \frac{1}{16 \times 3}\)\)
\(\(y = \frac{1}{48}\)\)

Bước 3: Thay giá trị của \(\(y\)\) vừa tìm được vào phương trình (3) để tìm \(\(x\)\):

\(\(x + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}\)\)
\(\(x = \frac{1}{16} – \frac{1}{48}\)\)
\(\(x = \frac{3}{48} – \frac{1}{48}\)\) (Quy đồng mẫu số cho \(\(\frac{1}{16}\)\) thành \(\(\frac{3}{48}\)\))
\(\(x = \frac{2}{48}\)\)
\(\(x = \frac{1}{24}\)\)

Vậy chúng ta đã tìm được \(\(x = \frac{1}{24}\)\) và \(\(y = \frac{1}{48}\)\).

Bước 4: Trở lại các ẩn ban đầu (\(\(t_1\)\) và \(\(t_2\)\)):

Vì \(\(x = \frac{1}{t_1}\)\), suy ra \(\(\frac{1}{t_1} = \frac{1}{24}\)\). Do đó, \(\(t_1 = 24\)\) (giờ).

Vì \(\(y = \frac{1}{t_2}\)\), suy ra \(\(\frac{1}{t_2} = \frac{1}{48}\)\). Do đó, \(\(t_2 = 48\)\) (giờ).

—

Kiểm tra lại kết quả:

Để chắc chắn rằng bài giải của chúng ta là đúng, hãy kiểm tra lại với các dữ kiện của đề bài:

• Nếu người thứ nhất làm trong 24 giờ và người thứ hai làm trong 48 giờ.
• Kiểm tra dữ kiện 1 (làm chung): Năng suất chung của hai người là \(\(\frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{2}{48} + \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}\)\) (công việc/giờ).
  Nếu họ làm chung trong 16 giờ, tổng công việc hoàn thành là \(\(16 \times \frac{1}{16} = 1\)\) (công việc). Điều này đúng với dữ kiện “Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong.”
• Kiểm tra dữ kiện 2 (làm riêng từng phần):
  Người thứ nhất làm 3 giờ được: \(\(3 \times \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)\) công việc.
  Người thứ hai làm 6 giờ được: \(\(6 \times \frac{1}{48} = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}\)\) công việc.
  Tổng cộng phần công việc hai người làm được là: \(\(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)\) công việc.
  \(\(\frac{1}{4}\)\) công việc chính là 25% công việc. Điều này cũng đúng với dữ kiện “người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì hoàn thành được 25% công việc.”

Cả hai dữ kiện đều khớp với kết quả chúng ta tìm được. Vậy bài giải là chính xác.

—

Kết luận:

Vậy, nếu làm riêng thì:

Người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ.
Người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.

Các em nhớ đọc kỹ đề bài, phân tích và lập phương trình cẩn thận để tránh sai sót nhé! Trong các bài toán dạng này, việc đặt ẩn phụ thường giúp đơn giản hóa bài toán rất nhiều. Chúc các em học tốt và đạt được kết quả cao!