Xin chào các em học sinh lớp 9. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị về số học, liên quan đến lũy thừa của số nguyên tố. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(m, n\) sao cho tích \((m+n)(m^3+7n)\) là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên tố.

Đề bài: Tìm tất cả các số nguyên dương \(m,n\) sao cho \((m+n)(m^3+7n)\) là lũy thừa bậc \(4\) của một số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(p\) là một số nguyên tố sao cho \((m+n)(m^3+7n) = k^4\) với \(k\) là một số nguyên tố.

Vì \(m, n\) là các số nguyên dương, nên \(m+n\) và \(m^3+7n\) đều là các số nguyên dương.

Ta có hai trường hợp xảy ra đối với các thừa số của tích:

Trường hợp 1: \(m+n = p^a\) và \(m^3+7n = p^b\), với \(a, b\) là các số nguyên không âm và \(a+b=4\).
Do \(m, n\) là số nguyên dương, \(m+n \ge 2\). Do đó, \(p^a \ge 2\), suy ra \(a \ge 1\).
Tương tự, \(m^3+7n \ge 1^3+7(1) = 8\), nên \(p^b \ge 8\). Suy ra \(b \ge 3\).
Với \(a \ge 1\) và \(b \ge 3\), và \(a+b=4\), thì \(a=1\) và \(b=3\) là trường hợp duy nhất thỏa mãn.

Như vậy, ta có hệ phương trình:

1) \(m+n = p^1 = p\)

2) \(m^3+7n = p^3\)

Từ phương trình (1), ta rút ra \(n = p-m\).
Thay \(n\) vào phương trình (2):

\(m^3 + 7(p-m) = p^3\)

\(m^3 + 7p – 7m = p^3\)

\(m^3 – 7m = p^3 – 7p\)

\(m(m^2 – 7) = p(p^2 – 7)\)

Do \(m\) và \(p\) là các số nguyên dương, ta xét các khả năng sau:

Khả năng 1.1: \(m = p\)

Nếu \(m=p\), thì từ \(m+n=p\), ta có \(p+n=p\), suy ra \(n=0\).
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu \(n\) là số nguyên dương. Do đó, trường hợp này loại.

Khả năng 1.2: \(m^2 – 7 = p^2 – 7\)

Nếu \(m^2 – 7 = p^2 – 7\), thì \(m^2 = p^2\).
Vì \(m\) và \(p\) là các số nguyên dương, nên \(m=p\).
Trường hợp này đã bị loại ở khả năng 1.1.

Khả năng 1.3: \(m\) là ước của \(p^2-7\) và \(p\) là ước của \(m^2-7\), hoặc ngược lại.

Xét lại phương trình \(m(m^2 – 7) = p(p^2 – 7)\).

Nếu \(m=1\), thì \(1(1^2-7) = -6\). Vế phải \(p(p^2-7)\) phải bằng -6. Vì \(p\) là số nguyên tố dương, \(p \ge 2\).
Nếu \(p=2\), \(2(2^2-7) = 2(-3) = -6\).
Vậy \(p=2\) thỏa mãn.
Nếu \(m=1\) và \(p=2\), ta kiểm tra lại hệ phương trình:

1) \(m+n=p \implies 1+n=2 \implies n=1\).

2) \(m^3+7n=p^3 \implies 1^3+7(1) = 1+7 = 8\). \(p^3 = 2^3 = 8\).

Hai phương trình thỏa mãn. \(m=1, n=1\) là một cặp nghiệm.

Kiểm tra lại đề bài: \((m+n)(m^3+7n) = (1+1)(1^3+7(1)) = 2 \cdot 8 = 16 = 2^4\).
Đây là lũy thừa bậc 4 của số nguyên tố \(2\). Vậy cặp \((m,n) = (1,1)\) là một nghiệm.

Nếu \(m=2\), thì \(2(2^2-7) = 2(-3) = -6\). Vế phải \(p(p^2-7) = -6\).
Như đã phân tích ở trên, ta có \(p=2\).
Nếu \(m=2\) và \(p=2\), ta kiểm tra lại hệ phương trình:

1) \(m+n=p \implies 2+n=2 \implies n=0\).
Trường hợp này loại vì \(n\) phải là số nguyên dương.

Nếu \(m=3\), thì \(3(3^2-7) = 3(2) = 6\). Vế phải \(p(p^2-7) = 6\).
Nếu \(p=3\), \(3(3^2-7) = 6\).
Vậy \(p=3\) thỏa mãn.
Nếu \(m=3\) và \(p=3\), ta kiểm tra lại hệ phương trình:

1) \(m+n=p \implies 3+n=3 \implies n=0\).
Trường hợp này loại.

Nếu \(m>p\), thì \(m^2-7 > p^2-7\) (với \(m,p \ge 3\)).
Suy ra \(m(m^2-7) > p(p^2-7)\). Do đó, không thể có \(m(m^2-7) = p(p^2-7)\).

Nếu \(m

Ta có \(m+n=p\) và \(m^3+7n=p^3\).
Suy ra \(m^3 + 7(p-m) = p^3\).

Xét hàm \(f(x) = x^3 – 7x\). Ta có \(f(m) = f(p)\).
Nếu \(f(m) = f(p)\) với \(m \ne p\), thì ta cần xem xét các khả năng:

Trường hợp \(m^3-7m = p^3-7p\) có thể xảy ra khi \(m\) và \(p\) có mối liên hệ đặc biệt.

Ta có thể viết lại phương trình là \(m^3-p^3 – 7(m-p) = 0\).

\((m-p)(m^2+mp+p^2) – 7(m-p) = 0\).

\((m-p)(m^2+mp+p^2-7) = 0\).

Do \(m, p\) là các số nguyên dương, \(m \ne p\) (vì nếu \(m=p\) thì \(n=0\), loại).
Suy ra \(m^2+mp+p^2-7 = 0\).

\(m^2+mp+p^2 = 7\).

Vì \(m, p\) là các số nguyên dương, ta có thể liệt kê các khả năng:

Nếu \(m=1\), thì \(1+p+p^2 = 7 \implies p^2+p-6 = 0 \implies (p+3)(p-2)=0\).
Vì \(p\) là số nguyên tố dương, nên \(p=2\).
Nếu \(m=1, p=2\), ta có \(m+n=p \implies 1+n=2 \implies n=1\).
Cặp \((m,n) = (1,1)\). Ta đã kiểm tra cặp này và nó là một nghiệm.

Nếu \(m=2\), thì \(4+2p+p^2 = 7 \implies p^2+2p-3 = 0 \implies (p+3)(p-1)=0\).
Không có số nguyên tố \(p\) nào thỏa mãn.

Nếu \(m \ge 2\) và \(p \ge 2\), thì \(m^2 \ge 4, mp \ge 4, p^2 \ge 4\).
\(m^2+mp+p^2 \ge 4+4+4 = 12 > 7\).
Do đó, không còn trường hợp nào khác cho \(m^2+mp+p^2=7\) với \(m,p\) nguyên dương.

Trường hợp 2: \(m+n = p^2\) và \(m^3+7n = p^2\).
Ta có \(m+n = m^3+7n\).
\(m^3 – m + 6n = 0\).
\(m(m^2-1) + 6n = 0\).
Vì \(m, n\) là số nguyên dương, nên \(m \ge 1\) và \(n \ge 1\).
\(m(m^2-1) \ge 1(1^2-1) = 0\).
\(6n \ge 6\).
Do đó, \(m(m^2-1) + 6n \ge 6 > 0\).
Vế trái luôn dương, không thể bằng 0. Trường hợp này loại.

Trường hợp 3: \(m+n = p^3\) và \(m^3+7n = p\).
Vì \(m, n\) là số nguyên dương, \(m+n \ge 2\), \(m^3+7n \ge 8\).
Do đó, \(p^3 \ge 2\) và \(p \ge 8\).
Nếu \(p \ge 8\), thì \(p^3 \ge 8^3 = 512\).
Ta có \(n = p-m\).
Thay vào phương trình thứ hai: \(m^3 + 7(p-m) = p\).
\(m^3 – 7m + 7p = p\).
\(m^3 – 7m + 6p = 0\).

Vì \(p\) là số nguyên tố \(\ge 8\), \(p > 0\).
\(m^3 – 7m = -6p\).
Nếu \(m=1\), \(1-7 = -6 = -6p \implies p=1\). Không phải số nguyên tố.
Nếu \(m=2\), \(8-14 = -6 = -6p \implies p=1\). Không phải số nguyên tố.
Nếu \(m=3\), \(27-21 = 6 = -6p \implies p=-1\). Không phải số nguyên tố.
Nếu \(m \ge 3\), thì \(m^3 – 7m > 0\).
Do đó, \(m^3-7m\) là số dương, còn \(-6p\) là số âm.
Phương trình \(m^3 – 7m = -6p\) không thể xảy ra.

Trường hợp này loại.

Trường hợp 4: \(m+n = p^4\) và \(m^3+7n = 1\).
Vì \(n\) là số nguyên dương, \(m^3+7n \ge 1^3+7(1) = 8\).
Do đó \(m^3+7n=1\) không thể xảy ra.

Trường hợp 5: \(m+n = 1\) và \(m^3+7n = p^4\).
Vì \(m, n\) là số nguyên dương, \(m+n \ge 1+1=2\).
Do đó \(m+n=1\) không thể xảy ra.

Trường hợp 6: \(m+n = p^0 = 1\) và \(m^3+7n = p^4\). (Đã loại)

Trường hợp 7: \(m+n = p^k\) và \(m^3+7n = p^{4-k}\) với \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\).
Chúng ta đã xem xét các trường hợp \(k=1, 2, 3, 4\).
Xét \(k=0\): \(m+n=p^0=1\). Loại vì \(m,n\) nguyên dương.

Kết luận:

Qua quá trình phân tích các trường hợp, chúng ta chỉ tìm được một cặp số nguyên dương \((m,n)\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Cặp nghiệm duy nhất là \((m,n) = (1,1)\).

Khi \((m,n) = (1,1)\), \((m+n)(m^3+7n) = (1+1)(1^3+7 \cdot 1) = 2 \cdot (1+7) = 2 \cdot 8 = 16\).
Và \(16 = 2^4\), với \(2\) là số nguyên tố.

Vậy, tập hợp tất cả các cặp số nguyên dương \(m, n\) thỏa mãn đề bài là \(\{(1,1)\}\).

Cảm ơn các em đã chú ý theo dõi.