Đề bài: Cho \(\alpha\) là 1 góc từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\) thoả mãn \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{5}{2}\) và \(\sin \alpha > \cos \alpha\). Tính \(\sin \alpha\).

Chúng ta sẽ cùng phân tích đề bài và giải quyết từng bước một nhé.

Phân tích đề bài:

• Góc \(\alpha\) nằm trong khoảng \([0^\circ, 180^\circ]\). Điều này có nghĩa là \(\sin \alpha \ge 0\).
• Có hai phương trình (điều kiện) đã cho:
  1. \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{5}{2}\)
  2. \(\sin \alpha > \cos \alpha\)
• Mục tiêu là tìm giá trị của \(\sin \alpha\).

Bây giờ chúng ta bắt đầu giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi điều kiện thứ nhất: \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{5}{2}\)

Chúng ta biết rằng \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) và \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). Thay thế vào phương trình:

\[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{5}{2} \]

Để phương trình có nghĩa, \(\sin \alpha \ne 0\) và \(\cos \alpha \ne 0\). Điều này loại trừ các trường hợp \(\alpha = 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ\).

Quy đồng mẫu số vế trái:

\[ \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{5}{2} \]

Chúng ta lại có đẳng thức cơ bản \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Thay vào phương trình:

\[ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{5}{2} \]

Từ đó, ta suy ra:

\[ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5} \]

Đây là một kết quả quan trọng, chúng ta sẽ gọi đây là (1).

Bước 2: Sử dụng kết quả \(\sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}\) để tìm mối liên hệ giữa \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\).

Chúng ta có các hằng đẳng thức sau:

• \(\left( \sin \alpha + \cos \alpha \right)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha\)
• \(\left( \sin \alpha – \cos \alpha \right)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha – 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 – 2 \sin \alpha \cos \alpha\)

Thay \(\sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}\) vào các hằng đẳng thức trên:

\[ \left( \sin \alpha + \cos \alpha \right)^2 = 1 + 2 \left( \frac{2}{5} \right) = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \]

\[ \left( \sin \alpha – \cos \alpha \right)^2 = 1 – 2 \left( \frac{2}{5} \right) = 1 – \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \]

Bước 3: Sử dụng điều kiện thứ hai \(\sin \alpha > \cos \alpha\) để xác định dấu.

Từ \(\left( \sin \alpha – \cos \alpha \right)^2 = \frac{1}{5}\), ta suy ra:

\[ \sin \alpha – \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Vì điều kiện đề bài là \(\sin \alpha > \cos \alpha\), điều này có nghĩa là \(\sin \alpha – \cos \alpha > 0\).

Vậy, chúng ta chọn giá trị dương:

\[ \sin \alpha – \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} \quad \text{(2)} \]

Bây giờ, xét \(\left( \sin \alpha + \cos \alpha \right)^2 = \frac{9}{5}\), ta có:

\[ \sin \alpha + \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{5}} = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5} \]

Để xác định dấu của \(\sin \alpha + \cos \alpha\), chúng ta cần xét dấu của \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\).

Chúng ta biết \(\sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5} > 0\). Điều này có nghĩa là \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) phải cùng dấu.

Với \(\alpha \in [0^\circ, 180^\circ]\), \(\sin \alpha \ge 0\).

• Nếu \(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha > 0\), thì \(\alpha\) phải thuộc góc phần tư thứ nhất (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)).
• Nếu \(\sin \alpha < 0\) và \(\cos \alpha < 0\), thì \(\alpha\) phải thuộc góc phần tư thứ ba, nhưng góc phần tư thứ ba không nằm trong khoảng \([0^\circ, 180^\circ]\).

Do đó, \(\alpha\) phải thuộc góc phần tư thứ nhất, nơi \(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha > 0\).

Khi cả \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) đều dương, thì tổng của chúng \(\sin \alpha + \cos \alpha\) cũng phải dương.

Vậy, chúng ta chọn giá trị dương:

\[ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{5} \quad \text{(3)} \]

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm \(\sin \alpha\).

Chúng ta có hệ phương trình gồm (2) và (3):

\[ \begin{cases} \sin \alpha – \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} \quad \text{(2)} \\ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{5} \quad \text{(3)} \end{cases} \]

Cộng hai phương trình này lại, ta sẽ khử được \(\cos \alpha\):

\[ \left( \sin \alpha – \cos \alpha \right) + \left( \sin \alpha + \cos \alpha \right) = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3\sqrt{5}}{5} \]

\[ 2 \sin \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{5} \]

Chia cả hai vế cho 2:

\[ \sin \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{5 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Kiểm tra lại (tùy chọn):

Nếu \(\sin \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}\), thay vào \((3)\) để tìm \(\cos \alpha\):

\[ \frac{2\sqrt{5}}{5} + \cos \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]

\[ \cos \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{5} – \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Kiểm tra điều kiện \(\sin \alpha > \cos \alpha\): \(\frac{2\sqrt{5}}{5} > \frac{\sqrt{5}}{5}\) (Đúng).

Kiểm tra \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[ \left( \frac{2\sqrt{5}}{5} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)^2 = \frac{4 \cdot 5}{25} + \frac{5}{25} = \frac{20}{25} + \frac{5}{25} = \frac{25}{25} = 1 \quad \text{(Đúng)} \]

Kiểm tra \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{5}{2}\):

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sqrt{5}/5}{\sqrt{5}/5} = 2 \]

\[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{5}/5}{2\sqrt{5}/5} = \frac{1}{2} \]

\[ \tan \alpha + \cot \alpha = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \quad \text{(Đúng)} \]

Tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(\sin \alpha\) là \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm bài toán này nhé! Chúc các em học tốt!