Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về biểu thức đại số. Đây là một dạng bài rất quan trọng, yêu cầu chúng ta phải nắm vững các phép toán với phân thức và kỹ năng biến đổi đại số. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 1: Cho biểu thức

\(P = \left(\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{2}{2-x}+\dfrac{1}{x+2}\right) : \left(x-2+\dfrac{10-x^2}{x+2}\right)\)

Với điều kiện \(x \neq \pm 2\).

a) Tìm tất cả giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P\) có giá trị nguyên.

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(|P|=P\).

—

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, chúng ta cần rút gọn biểu thức \(P\) để việc giải quyết các phần a) và b) trở nên dễ dàng hơn.

1. Rút gọn biểu thức \(P\):

Điều kiện xác định: Đề bài đã cho là \(x \neq \pm 2\). Chúng ta luôn phải ghi nhớ điều kiện này trong suốt quá trình giải bài.

Ta có biểu thức \(P\) được chia làm hai phần: phần trong ngoặc thứ nhất (gọi là \(A\)) và phần trong ngoặc thứ hai (gọi là \(B\)). Khi đó \(P = A : B\).

Bước 1: Rút gọn phần thứ nhất (biểu thức \(A\))

\(A = \dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{2}{2-x}+\dfrac{1}{x+2}\)

Trước hết, chúng ta phân tích mẫu số: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) và \(2-x = -(x-2)\).

Vậy, biểu thức \(A\) sẽ trở thành:

\(A = \dfrac{x}{(x-2)(x+2)} + \dfrac{2}{-(x-2)} + \dfrac{1}{x+2}\)

\(A = \dfrac{x}{(x-2)(x+2)} – \dfrac{2}{x-2} + \dfrac{1}{x+2}\)

Để cộng trừ các phân thức này, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất ở đây là \((x-2)(x+2)\).

Quy đồng mẫu số các phân thức:

\(A = \dfrac{x}{(x-2)(x+2)} – \dfrac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \dfrac{1(x-2)}{(x+2)(x-2)}\)

\(A = \dfrac{x – 2(x+2) + (x-2)}{(x-2)(x+2)}\)

Thực hiện phép tính trên tử số:

\(A = \dfrac{x – 2x – 4 + x – 2}{(x-2)(x+2)}\)

\(A = \dfrac{(x – 2x + x) + (-4 – 2)}{(x-2)(x+2)}\)

\(A = \dfrac{0x – 6}{(x-2)(x+2)}\)

\(A = \dfrac{-6}{(x-2)(x+2)}\)

Bước 2: Rút gọn phần thứ hai (biểu thức \(B\))

\(B = x-2+\dfrac{10-x^2}{x+2}\)

Để cộng hai biểu thức này, chúng ta cũng cần quy đồng mẫu số. Coi \(x-2 = \dfrac{x-2}{1}\).

Mẫu số chung ở đây là \(x+2\).

\(B = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2} + \dfrac{10-x^2}{x+2}\)

\(B = \dfrac{(x^2-4) + (10-x^2)}{x+2}\)

Thực hiện phép tính trên tử số:

\(B = \dfrac{x^2 – 4 + 10 – x^2}{x+2}\)

\(B = \dfrac{(x^2 – x^2) + (-4 + 10)}{x+2}\)

\(B = \dfrac{0x^2 + 6}{x+2}\)

\(B = \dfrac{6}{x+2}\)

Bước 3: Thực hiện phép chia \(P = A : B\)

\(P = \dfrac{-6}{(x-2)(x+2)} : \dfrac{6}{x+2}\)

Nhớ rằng, chia cho một phân thức là nhân với phân thức nghịch đảo của nó.

\(P = \dfrac{-6}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{x+2}{6}\)

Bây giờ chúng ta rút gọn các thừa số chung ở tử và mẫu. Ta thấy có \((x+2)\) và \(6\) chung.

\(P = \dfrac{-1 \cdot (x+2)}{ (x-2) \cdot (x+2) }\)

\(P = \dfrac{-1}{x-2}\)

Vậy, biểu thức \(P\) sau khi rút gọn là \(P = \dfrac{-1}{x-2}\), với điều kiện \(x \neq \pm 2\).

a) Tìm tất cả giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P\) có giá trị nguyên.

Chúng ta có biểu thức \(P = \dfrac{-1}{x-2}\).

Để \(P\) có giá trị nguyên, thì \(-1\) phải chia hết cho \((x-2)\). Nói cách khác, \((x-2)\) phải là ước của \(-1\).

Các ước của \(-1\) là \(1\) và \(-1\).

Trường hợp 1: \(x-2 = 1\)

\(x = 1 + 2\)

\(x = 3\)

Kiểm tra điều kiện: \(x=3\) thỏa mãn \(x \neq \pm 2\). Đây là một giá trị nguyên hợp lệ.

Khi \(x=3\), \(P = \dfrac{-1}{3-2} = \dfrac{-1}{1} = -1\), là một số nguyên.

Trường hợp 2: \(x-2 = -1\)

\(x = -1 + 2\)

\(x = 1\)

Kiểm tra điều kiện: \(x=1\) thỏa mãn \(x \neq \pm 2\). Đây là một giá trị nguyên hợp lệ.

Khi \(x=1\), \(P = \dfrac{-1}{1-2} = \dfrac{-1}{-1} = 1\), là một số nguyên.

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P\) có giá trị nguyên là \(x=1\) và \(x=3\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(|P|=P\).

Ta có biểu thức \(P = \dfrac{-1}{x-2}\).

Điều kiện \(|P|=P\) xảy ra khi và chỉ khi \(P \ge 0\).

Vậy, chúng ta cần giải bất phương trình: \(\dfrac{-1}{x-2} \ge 0\)

Để một phân thức có tử số là \(-1\) (một số âm) mà giá trị của phân thức đó \(\ge 0\), thì mẫu số của nó phải là một số âm (nhưng không thể bằng 0 vì mẫu số không được bằng 0).

Do đó, ta phải có \(x-2 < 0\).

Giải bất phương trình \(x-2 < 0\):

\(x < 2\)

Bây giờ, chúng ta cần kết hợp điều kiện này với điều kiện xác định ban đầu của biểu thức, đó là \(x \neq \pm 2\).

Các giá trị \(x\) thỏa mãn \(x < 2\) là: \(\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 1.5, \dots\).

Trong các giá trị này, chúng ta cần loại trừ \(x = -2\) (vì \(x \neq -2\)). Giá trị \(x=2\) không cần loại trừ thêm vì nó không nằm trong tập \(x<2\).

Vậy, các giá trị của \(x\) để \(|P|=P\) là \(x < 2\) và \(x \neq -2\).

—

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách rút gọn biểu thức, tìm giá trị nguyên và giải bất phương trình liên quan đến phân thức. Hãy ôn tập thật kỹ để làm tốt các bài toán tương tự nhé!