Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về tìm số nguyên dương thỏa mãn điều kiện chia hết. Đề bài của chúng ta là:

Tìm tất cả các số nguyên dương \(x\) sao cho \(x^2+1\) chia hết cho \(2x+3\).

Phương pháp giải:

Đây là dạng bài toán liên quan đến chia hết của đa thức. Khi gặp dạng này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật sau:

1. Nhân biểu thức bị chia với một hằng số hoặc một biểu thức để có thể “tách” ra biểu thức chia.
2. Sử dụng tính chất chia hết: Nếu \(a\) \( \vdots \) \(b\) và \(c\) \( \vdots \) \(b\) thì \(ka \pm mc\) \( \vdots \) \(b\) với \(k, m\) là các số nguyên.
3. Biến đổi để đưa về dạng \(A\) \( \vdots \) \(B\), trong đó \(B\) là một hằng số hoặc một biểu thức có giá trị cố định.

Trình bày lời giải chi tiết:

Để \(x^2+1\) chia hết cho \(2x+3\), ta có thể viết:

\(x^2+1 = k(2x+3)\) với \(k\) là một biểu thức nào đó mà ta sẽ tìm cách xác định.

Ta muốn tạo ra biểu thức \(2x+3\) từ \(x^2+1\). Thường thì ta sẽ nhân \(x^2+1\) với một hằng số để “tương thích” với bậc của \(2x+3\).

Xét biểu thức \(4(x^2+1)\).

Ta có: \(4(x^2+1) = 4x^2 + 4\)

Bây giờ, ta muốn đưa biểu thức \(2x+3\) vào đây. Ta nhận thấy \( (2x)^2 = 4x^2 \). Vậy ta thử tạo ra \((2x+3)^2\).

Ta có: \((2x+3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\)

Điều này chưa trực tiếp giúp ích. Ta hãy thử nhân \(x^2+1\) với một hằng số và cộng/trừ với một số hạng chứa \(x\) để có thể chia hết cho \(2x+3\).

Nếu \(x^2+1\) \( \vdots \) \(2x+3\), thì \(4(x^2+1)\) \( \vdots \) \(2x+3\).

\(4(x^2+1) = 4x^2 + 4\)

Ta muốn biến đổi \(4x^2+4\) sao cho xuất hiện thừa số \(2x+3\). Ta có thể làm như sau:

\(4x^2 + 4 = (4x^2 – 9) + 13\)

Ta biết \(4x^2 – 9 = (2x-3)(2x+3)\). Do đó, \(4x^2 – 9\) chia hết cho \(2x+3\).

Vậy, nếu \(4x^2+4\) \( \vdots \) \(2x+3\), thì \((4x^2 – 9) + 13\) \( \vdots \) \(2x+3\).

Vì \(4x^2 – 9\) \( \vdots \) \(2x+3\), nên để \((4x^2 – 9) + 13\) \( \vdots \) \(2x+3\), ta phải có \(13\) \( \vdots \) \(2x+3\).

Bây giờ bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Ta cần tìm các số nguyên dương \(x\) sao cho \(2x+3\) là ước của \(13\).

Các ước của \(13\) là: \(1, -1, 13, -13\).

Ta xét các trường hợp của \(2x+3\):

Trường hợp 1: \(2x+3 = 1\)

\(2x = 1 – 3\)
\(2x = -2\)
\(x = -1\)

Số này không phải là số nguyên dương, nên loại.

Trường hợp 2: \(2x+3 = -1\)

\(2x = -1 – 3\)
\(2x = -4\)
\(x = -2\)

Số này không phải là số nguyên dương, nên loại.

Trường hợp 3: \(2x+3 = 13\)

\(2x = 13 – 3\)
\(2x = 10\)
\(x = 5\)

Đây là một số nguyên dương. Ta kiểm tra lại: Nếu \(x=5\), thì \(x^2+1 = 5^2+1 = 26\). Và \(2x+3 = 2(5)+3 = 13\). \(26\) \( \vdots \) \(13\). Vậy \(x=5\) thỏa mãn.

Trường hợp 4: \(2x+3 = -13\)

\(2x = -13 – 3\)
\(2x = -16\)
\(x = -8\)

Số này không phải là số nguyên dương, nên loại.

Kết luận:

Chỉ có một số nguyên dương \(x\) thỏa mãn điều kiện đề bài, đó là \(x=5\).

Tóm tắt lại các bước quan trọng:

1. Nhân \(x^2+1\) với 4 để có \(4x^2+4\).
2. Biến đổi \(4x^2+4\) thành \((4x^2-9) + 13\).
3. Sử dụng tính chất chia hết: Nếu \(x^2+1\) \( \vdots \) \(2x+3\) thì \(4(x^2+1)\) \( \vdots \) \(2x+3\).
4. Suy ra \(13\) \( \vdots \) \(2x+3\).
5. Tìm các ước của 13 và giải phương trình \(2x+3 = \text{ước}\) cho \(x\) là số nguyên dương.

Hy vọng các em đã hiểu rõ bài toán này. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để củng cố kiến thức nhé!