Bài 13: \(y^2 – x^2 – 12y + 36\)

Đây là một bài toán yêu cầu chúng ta vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đã học.
Đầu tiên, thầy sẽ sắp xếp lại các hạng tử để dễ nhìn hơn:
\(y^2 – 12y + 36 – x^2\)

Các em thấy nhóm ba hạng tử đầu tiên có quen thuộc không? Đúng rồi, đó là một hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \(a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\).
Ở đây, \(a = y\) và \(b = 6\), vì \(2ab = 2 \times y \times 6 = 12y\).
Vậy ta có:
\( (y^2 – 12y + 36) – x^2 = (y – 6)^2 – x^2 \)

Bây giờ, chúng ta lại có một biểu thức quen thuộc nữa, đó là hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).
Ở đây, \(a = (y-6)\) và \(b = x\).
Áp dụng hằng đẳng thức này, ta được:
\( (y – 6)^2 – x^2 = ((y – 6) – x)((y – 6) + x) \)

Cuối cùng, ta bỏ dấu ngoặc đơn cho gọn:
\( (y – 6 – x)(y – 6 + x) \)

Vậy, đa thức \(y^2 – x^2 – 12y + 36\) được phân tích thành nhân tử là \( (y – 6 – x)(y – 6 + x) \).

Bài 16: \(1 – 8x + 16x^2 – y^2\)

Tương tự như bài trước, chúng ta sẽ sắp xếp lại các hạng tử và tìm cách nhóm chúng.
Thầy sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) lại với nhau, và lưu ý dấu trừ đằng trước \(y^2\):
\( (1 – 8x + 16x^2) – y^2 \)

Các em để ý nhóm \(1 – 8x + 16x^2\) xem có nhận ra hằng đẳng thức nào không?
Đó là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \(a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\).
Ở đây, \(a = 1\) và \(b = 4x\), vì \(2ab = 2 \times 1 \times 4x = 8x\).
Vậy ta có:
\( (1 – 8x + 16x^2) – y^2 = (1 – 4x)^2 – y^2 \)

Tiếp tục, chúng ta lại áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).
Ở đây, \(a = (1 – 4x)\) và \(b = y\).
Ta được:
\( (1 – 4x)^2 – y^2 = ((1 – 4x) – y)((1 – 4x) + y) \)

Cuối cùng, ta bỏ dấu ngoặc đơn cho gọn:
\( (1 – 4x – y)(1 – 4x + y) \)

Vậy, đa thức \(1 – 8x + 16x^2 – y^2\) được phân tích thành nhân tử là \( (1 – 4x – y)(1 – 4x + y) \).

Bài 19: \(y^2 – 14y – 25x^2 + 49\)

Bài này cũng tương tự, chúng ta cần sắp xếp và nhóm các hạng tử.
Thầy sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến \(y\) và các hạng tử số lại với nhau, đồng thời lưu ý dấu trừ đằng trước \(25x^2\):
\( (y^2 – 14y + 49) – 25x^2 \)

Các em nhìn vào nhóm \(y^2 – 14y + 49\) xem có nhận ra hằng đẳng thức nào không?
Đó là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \(a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\).
Ở đây, \(a = y\) và \(b = 7\), vì \(2ab = 2 \times y \times 7 = 14y\).
Vậy ta có:
\( (y^2 – 14y + 49) – 25x^2 = (y – 7)^2 – 25x^2 \)

Bây giờ, chúng ta cần nhận ra rằng \(25x^2\) cũng là một bình phương.
\(25x^2 = (5x)^2\).
Vậy biểu thức trở thành:
\( (y – 7)^2 – (5x)^2 \)

Đây lại là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).
Ở đây, \(a = (y – 7)\) và \(b = 5x\).
Ta được:
\( (y – 7)^2 – (5x)^2 = ((y – 7) – 5x)((y – 7) + 5x) \)

Cuối cùng, ta bỏ dấu ngoặc đơn cho gọn:
\( (y – 7 – 5x)(y – 7 + 5x) \)

Vậy, đa thức \(y^2 – 14y – 25x^2 + 49\) được phân tích thành nhân tử là \( (y – 7 – 5x)(y – 7 + 5x) \).

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để ghi nhớ các hằng đẳng thức và cách vận dụng chúng nhé. Nếu có thắc mắc gì, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy.