Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị về so sánh các phân số nhé. Đây là một dạng bài giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của các số và cách chúng ta tìm một số “ở giữa” hai số khác.

Đề bài của chúng ta như sau:

Cho hai số \(x=a/m\) và \(y=b/m\) (trong đó \(a, b, m\) là các số nguyên, và \(m>0\)). Chúng ta biết rằng \(x < y\).
Yêu cầu: Chứng minh rằng số \(z=(x+y)/2\) thỏa mãn điều kiện \(x < z < y\).

Để giải bài này, chúng ta sẽ làm từng bước một thật cẩn thận. Mục tiêu của chúng ta là chứng minh hai điều: thứ nhất là \(x < z\), và thứ hai là \(z < y\).

Bước 1: Tính toán giá trị của \(z\) theo \(a, b, m\).

Chúng ta có \(z=(x+y)/2\). Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(x\) và \(y\) bằng biểu thức của chúng:

\(z = (a/m + b/m) / 2\)

Khi cộng hai phân số cùng mẫu, chúng ta cộng tử số và giữ nguyên mẫu số:

\(z = ((a+b)/m) / 2\)

Để chia một phân số cho một số, chúng ta nhân mẫu số của phân số đó với số chia:

\(z = (a+b) / (m \times 2)\)

Vậy, chúng ta có biểu thức đơn giản của \(z\) là:

\(z = (a+b) / (2m)\)

Bước 2: Chứng minh rằng \(x < z\).

Chúng ta cần chứng minh \(a/m < (a+b)/(2m)\).

Vì \(m > 0\) nên \(2m\) cũng sẽ lớn hơn \(0\). Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số dương, chiều của bất đẳng thức không đổi. Vậy, chúng ta sẽ nhân cả hai vế với \(2m\):

\(a/m \times (2m) < (a+b)/(2m) \times (2m)\)

Thực hiện phép tính:

\(2a < a+b\)

Bây giờ, chúng ta sẽ trừ \(a\) ở cả hai vế của bất đẳng thức này:

\(2a – a < a+b – a\)

Ta được:

\(a < b\)

Chúng ta biết rằng đề bài cho \(x < y\). Mà \(x = a/m\) và \(y = b/m\). Vì \(m > 0\), nên \(a/m < b/m\) chính là \(a < b\). Điều này đã được cho trước, nên bất đẳng thức \(a < b\) là đúng.

Vì \(a < b\) là đúng, suy ra các bước ngược lại cũng đúng, do đó \(x < z\) là đúng!

Bước 3: Chứng minh rằng \(z < y\).

Chúng ta cần chứng minh \((a+b)/(2m) < b/m\).

Tương tự như Bước 2, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với \(2m\) (một số dương, vì \(m > 0\)):

\((a+b)/(2m) \times (2m) < b/m \times (2m)\)

Thực hiện phép tính:

\(a+b < 2b\)

Bây giờ, chúng ta sẽ trừ \(b\) ở cả hai vế của bất đẳng thức này:

\(a+b – b < 2b – b\)

Ta được:

\(a < b\)

Một lần nữa, chúng ta thấy kết quả là \(a < b\). Như đã giải thích ở Bước 2, điều kiện \(a < b\) là đúng vì đề bài cho \(x < y\).

Vì \(a < b\) là đúng, suy ra các bước ngược lại cũng đúng, do đó \(z < y\) là đúng!

Kết luận:

Qua Bước 2, chúng ta đã chứng minh được \(x < z\).

Qua Bước 3, chúng ta đã chứng minh được \(z < y\).

Vậy, kết hợp cả hai điều này lại, chúng ta có thể khẳng định rằng:

\(x < z < y\)

Điều này có nghĩa là số \(z\) (là trung bình cộng của \(x\) và \(y\)) luôn nằm giữa hai số \(x\) và \(y\). Hay nói cách khác, trung bình cộng của hai số luôn lớn hơn số bé hơn và nhỏ hơn số lớn hơn.

Chúc mừng các em đã hiểu rõ và giải quyết được bài toán này! Tiếp tục cố gắng trong học tập nhé!