Đúng như em thắc mắc, việc không cho biết góc phần tư thứ mấy là một điểm rất quan trọng trong bài toán này. Nó có nghĩa là chúng ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra cho dấu của các giá trị lượng giác còn lại.

Trước khi đi vào giải từng phần, cô nhắc lại một số kiến thức cơ bản về dấu của các giá trị lượng giác trong 4 góc phần tư:

• Góc phần tư I (Q1): \(0^\circ < x < 90^\circ\) (hoặc \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) rad)
  Tất cả các giá trị lượng giác (\(\sin x, \cos x, \tan x, \cot x\)) đều mang dấu dương.
• Góc phần tư II (Q2): \(90^\circ < x < 180^\circ\) (hoặc \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\) rad)
  Chỉ có \(\sin x\) mang dấu dương. Các giá trị còn lại (\(\cos x, \tan x, \cot x\)) mang dấu âm.
• Góc phần tư III (Q3): \(180^\circ < x < 270^\circ\) (hoặc \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\) rad)
  Chỉ có \(\tan x\) và \(\cot x\) mang dấu dương. Các giá trị còn lại (\(\sin x, \cos x\)) mang dấu âm.
• Góc phần tư IV (Q4): \(270^\circ < x < 360^\circ\) (hoặc \(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\) rad)
  Chỉ có \(\cos x\) mang dấu dương. Các giá trị còn lại (\(\sin x, \tan x, \cot x\)) mang dấu âm.

Một câu thần chú dễ nhớ là “Nhất cả, nhì Sin, tam Tang, tứ Cos” (tức là ở góc phần tư thứ nhất thì tất cả đều dương, thứ hai thì Sin dương, thứ ba thì Tan dương, thứ tư thì Cos dương).

Chúng ta sẽ sử dụng các đẳng thức lượng giác cơ bản:

1. \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
2. \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)
3. \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}\)
4. \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)
5. \(1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}\)

Giờ chúng ta cùng giải từng bài nhé!

a) Cho \(\cos x = \frac{1}{3}\)

Vì \(\cos x = \frac{1}{3} > 0\), nên góc \(x\) có thể nằm ở Góc phần tư I hoặc Góc phần tư IV.

Bước 1: Tìm \(\sin x\)

Sử dụng đẳng thức \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\(\sin^2 x + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1\)

\(\sin^2 x + \frac{1}{9} = 1\)

\(\sin^2 x = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)

\(\sin x = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Bước 2: Tìm \(\tan x\) và \(\cot x\)

Sẽ có hai trường hợp xảy ra, tùy thuộc vào dấu của \(\sin x\).

Trường hợp 1: Nếu \(x\) thuộc Góc phần tư I (Q1)

Trong Q1, \(\sin x > 0\), \(\cos x > 0\), \(\tan x > 0\), \(\cot x > 0\).

• \(\cos x = \frac{1}{3}\) (đề bài cho)
• \(\sin x = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
• \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}\)
• \(\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

Trường hợp 2: Nếu \(x\) thuộc Góc phần tư IV (Q4)

Trong Q4, \(\sin x < 0\), \(\cos x > 0\), \(\tan x < 0\), \(\cot x < 0\).

• \(\cos x = \frac{1}{3}\) (đề bài cho)
• \(\sin x = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
• \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}\)
• \(\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{-2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\)

—

b) Cho \(\tan x = -\sqrt{2}\)

Vì \(\tan x = -\sqrt{2} < 0\), nên góc \(x\) có thể nằm ở Góc phần tư II hoặc Góc phần tư IV.

Bước 1: Tìm \(\cot x\)

Sử dụng đẳng thức \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\):

\(\cot x = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Bước 2: Tìm \(\cos x\)

Sử dụng đẳng thức \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\):

\(1 + (-\sqrt{2})^2 = \frac{1}{\cos^2 x}\)

\(1 + 2 = \frac{1}{\cos^2 x}\)

\(3 = \frac{1}{\cos^2 x}\)

\(\cos^2 x = \frac{1}{3}\)

\(\cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Bước 3: Tìm \(\sin x\)

Sử dụng đẳng thức \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), suy ra \(\sin x = \tan x \cdot \cos x\).

Sẽ có hai trường hợp xảy ra, tùy thuộc vào dấu của \(\cos x\).

Trường hợp 1: Nếu \(x\) thuộc Góc phần tư II (Q2)

Trong Q2, \(\sin x > 0\), \(\cos x < 0\), \(\tan x < 0\), \(\cot x < 0\).

• \(\tan x = -\sqrt{2}\) (đề bài cho)
• \(\cot x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) (vì trong Q2, \(\cos x < 0\))
• \(\sin x = \tan x \cdot \cos x = (-\sqrt{2}) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{6}}{3}\)

Trường hợp 2: Nếu \(x\) thuộc Góc phần tư IV (Q4)

Trong Q4, \(\sin x < 0\), \(\cos x > 0\), \(\tan x < 0\), \(\cot x < 0\).

• \(\tan x = -\sqrt{2}\) (đề bài cho)
• \(\cot x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{3}\) (vì trong Q4, \(\cos x > 0\))
• \(\sin x = \tan x \cdot \cos x = (-\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{3}\)

—

c) Cho \(\cot x = 5\)

Vì \(\cot x = 5 > 0\), nên góc \(x\) có thể nằm ở Góc phần tư I hoặc Góc phần tư III.

Bước 1: Tìm \(\tan x\)

Sử dụng đẳng thức \(\tan x = \frac{1}{\cot x}\):

\(\tan x = \frac{1}{5}\)

Bước 2: Tìm \(\sin x\)

Sử dụng đẳng thức \(1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}\):

\(1 + (5)^2 = \frac{1}{\sin^2 x}\)

\(1 + 25 = \frac{1}{\sin^2 x}\)

\(26 = \frac{1}{\sin^2 x}\)

\(\sin^2 x = \frac{1}{26}\)

\(\sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{26}} = \pm \frac{1}{\sqrt{26}} = \pm \frac{\sqrt{26}}{26}\)

Bước 3: Tìm \(\cos x\)

Sử dụng đẳng thức \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\), suy ra \(\cos x = \cot x \cdot \sin x\).

Sẽ có hai trường hợp xảy ra, tùy thuộc vào dấu của \(\sin x\).

Trường hợp 1: Nếu \(x\) thuộc Góc phần tư I (Q1)

Trong Q1, \(\sin x > 0\), \(\cos x > 0\), \(\tan x > 0\), \(\cot x > 0\).

• \(\cot x = 5\) (đề bài cho)
• \(\tan x = \frac{1}{5}\)
• \(\sin x = \frac{\sqrt{26}}{26}\) (vì trong Q1, \(\sin x > 0\))
• \(\cos x = \cot x \cdot \sin x = 5 \cdot \frac{\sqrt{26}}{26} = \frac{5\sqrt{26}}{26}\)

Trường hợp 2: Nếu \(x\) thuộc Góc phần tư III (Q3)

Trong Q3, \(\sin x < 0\), \(\cos x < 0\), \(\tan x > 0\), \(\cot x > 0\).

• \(\cot x = 5\) (đề bài cho)
• \(\tan x = \frac{1}{5}\)
• \(\sin x = -\frac{\sqrt{26}}{26}\) (vì trong Q3, \(\sin x < 0\))
• \(\cos x = \cot x \cdot \sin x = 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{26}}{26}\right) = -\frac{5\sqrt{26}}{26}\)

—

Vậy là cô đã trình bày rất chi tiết cách giải cho từng trường hợp có thể xảy ra. Khi gặp các bài toán tương tự mà không cho biết góc phần tư, em hãy nhớ luôn phải xét các trường hợp có thể của dấu nhé!

Chúc em học tốt!