Bài toán: Ba câu lạc bộ Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh của khối 7 một trường THCS có 66 học sinh. Nếu câu lạc bộ Toán thêm 5 học sinh, câu lạc bộ Ngữ văn bớt đi 1 học sinh, câu lạc bộ Tiếng Anh thêm vào 2 học sinh thì số học sinh mỗi câu lạc bộ đó lần lượt tỉ lệ nghịch với 2; 3; 2. Hỏi mỗi câu lạc bộ có bao nhiêu học sinh?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Giả sử ban đầu, số học sinh của ba câu lạc bộ Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh lần lượt là \(x\), \(y\), và \(z\) (học sinh).

Theo đề bài, tổng số học sinh của ba câu lạc bộ là 66, nên ta có phương trình:

\(x + y + z = 66\)

Vì số học sinh không thể âm, nên ta có điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\).

Bước 2: Biểu diễn số học sinh sau khi thay đổi và thiết lập tỉ lệ

Sau khi có sự thay đổi, số học sinh của các câu lạc bộ sẽ là:

• Câu lạc bộ Toán: \(x + 5\) (học sinh)
• Câu lạc bộ Ngữ văn: \(y – 1\) (học sinh)
• Câu lạc bộ Tiếng Anh: \(z + 2\) (học sinh)

Đề bài cho biết, sau khi thay đổi, số học sinh của các câu lạc bộ lần lượt tỉ lệ nghịch với 2; 3; 2. Điều này có nghĩa là:

\( (x + 5) \cdot 2 = (y – 1) \cdot 3 = (z + 2) \cdot 2 \)

Bước 3: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Đặt \(k\) là một hằng số tỉ lệ. Ta có:

\( (x + 5) \cdot 2 = k \Rightarrow x + 5 = \frac{k}{2} \Rightarrow x = \frac{k}{2} – 5 \)
\( (y – 1) \cdot 3 = k \Rightarrow y – 1 = \frac{k}{3} \Rightarrow y = \frac{k}{3} + 1 \)
\( (z + 2) \cdot 2 = k \Rightarrow z + 2 = \frac{k}{2} \Rightarrow z = \frac{k}{2} – 2 \)

Bước 4: Thay thế vào phương trình tổng số học sinh

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(x\), \(y\), \(z\) theo \(k\) vào phương trình \(x + y + z = 66\):

\( \left( \frac{k}{2} – 5 \right) + \left( \frac{k}{3} + 1 \right) + \left( \frac{k}{2} – 2 \right) = 66 \)

Nhóm các số hạng chứa \(k\) và các số hạng tự do lại:

\( \left( \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{2} \right) + (-5 + 1 – 2) = 66 \)

Quy đồng mẫu số cho các số hạng chứa \(k\):

\( \left( \frac{3k}{6} + \frac{2k}{6} + \frac{3k}{6} \right) + (-6) = 66 \)
\( \frac{8k}{6} – 6 = 66 \)
\( \frac{4k}{3} = 66 + 6 \)
\( \frac{4k}{3} = 72 \)

Giải tìm \(k\):

\( 4k = 72 \cdot 3 \)
\( 4k = 216 \)
\( k = \frac{216}{4} \)
\( k = 54 \)

Bước 5: Tính số học sinh ban đầu của mỗi câu lạc bộ

Với giá trị \(k = 54\), chúng ta sẽ tính lại số học sinh ban đầu của từng câu lạc bộ:

• Câu lạc bộ Toán: \(x = \frac{k}{2} – 5 = \frac{54}{2} – 5 = 27 – 5 = 22\) (học sinh)
• Câu lạc bộ Ngữ văn: \(y = \frac{k}{3} + 1 = \frac{54}{3} + 1 = 18 + 1 = 19\) (học sinh)
• Câu lạc bộ Tiếng Anh: \(z = \frac{k}{2} – 2 = \frac{54}{2} – 2 = 27 – 2 = 25\) (học sinh)

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả

Để đảm bảo kết quả là đúng, chúng ta cùng kiểm tra:

• Tổng số học sinh ban đầu: \(22 + 19 + 25 = 66\) (Đúng với đề bài)
• Số học sinh sau khi thay đổi:
  • Toán: \(22 + 5 = 27\)
  • Ngữ văn: \(19 – 1 = 18\)
  • Tiếng Anh: \(25 + 2 = 27\)
• Kiểm tra tỉ lệ nghịch:
  • \(27 \cdot 2 = 54\)
  • \(18 \cdot 3 = 54\)
  • \(27 \cdot 2 = 54\)

  Các tích này bằng nhau, chứng tỏ tỉ lệ nghịch là đúng.

Kết luận:

Vậy, ban đầu mỗi câu lạc bộ có số học sinh như sau:

• Câu lạc bộ Toán: 22 học sinh
• Câu lạc bộ Ngữ văn: 19 học sinh
• Câu lạc bộ Tiếng Anh: 25 học sinh

Các em thấy bài toán này có thú vị không nào? Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!