Chúng ta cùng bắt đầu với phần 1: Xác định hệ số, phần biến và bậc của các biểu thức.

Phần 1: Xác định hệ số, phần biến, bậc

Biểu thức A = \(-\frac{3}{2}x^2y\) . \( \frac{4}{9}xy^2 \)

Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân các đơn thức này lại với nhau.
A = \( (-\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9}) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^2) \)

Thực hiện phép nhân các hệ số:
\( -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 9} = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3} \)

Thực hiện phép nhân các phần biến:
\( x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3 \)
\( y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3 \)

Vậy, đơn thức A sau khi rút gọn là:
A = \( -\frac{2}{3}x^3y^3 \)

Bây giờ chúng ta xác định các yếu tố:
* Hệ số: Là phần số đứng trước phần biến. Trong trường hợp này, hệ số là \(-\frac{2}{3}\).
* Phần biến: Là các biến số cùng với số mũ của chúng. Ở đây, phần biến là \(x^3y^3\).
* Bậc: Là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức. Bậc của A là \(3 + 3 = 6\).

Biểu thức B = \( (-x^2y^3)^2 \cdot \frac{3}{5}xy^3 \)

Chúng ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức B.
Trước hết, tính \( (-x^2y^3)^2 \):
\( (-x^2y^3)^2 = (-1)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 \)
\( (-1)^2 = 1 \)
\( (x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4 \)
\( (y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6 \)
Vậy, \( (-x^2y^3)^2 = 1 \cdot x^4y^6 = x^4y^6 \)

Bây giờ, nhân kết quả này với \( \frac{3}{5}xy^3 \):
B = \( x^4y^6 \cdot \frac{3}{5}xy^3 \)
B = \( (\frac{3}{5}) \cdot (x^4 \cdot x) \cdot (y^6 \cdot y^3) \)

Thực hiện phép nhân các hệ số:
Hệ số ở đây chỉ có \( \frac{3}{5} \).

Thực hiện phép nhân các phần biến:
\( x^4 \cdot x = x^{4+1} = x^5 \)
\( y^6 \cdot y^3 = y^{6+3} = y^9 \)

Vậy, đơn thức B sau khi rút gọn là:
B = \( \frac{3}{5}x^5y^9 \)

Bây giờ chúng ta xác định các yếu tố:
* Hệ số: Là phần số đứng trước phần biến. Trong trường hợp này, hệ số là \( \frac{3}{5} \).
* Phần biến: Là các biến số cùng với số mũ của chúng. Ở đây, phần biến là \(x^5y^9\).
* Bậc: Là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức. Bậc của B là \(5 + 9 = 14\).

Chúng ta đã hoàn thành phần 1. Tiếp theo là phần 2 với các phép tính.

Phần 2: Tính

Biểu thức A = \( (\frac{3}{2}x^2y^3 + 2x^3y^2 – \frac{3}{5}x^3y^3) : (-2x^2y^2) \)

Đây là phép chia đa thức cho đơn thức. Chúng ta sẽ chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức chia.
A = \( \frac{\frac{3}{2}x^2y^3}{-2x^2y^2} + \frac{2x^3y^2}{-2x^2y^2} + \frac{-\frac{3}{5}x^3y^3}{-2x^2y^2} \)

Thực hiện phép chia từng hạng tử:

Hạng tử 1: \( \frac{\frac{3}{2}x^2y^3}{-2x^2y^2} \)
Chia hệ số: \( \frac{3/2}{-2} = \frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} \)
Chia phần biến: \( \frac{x^2}{x^2} = x^{2-2} = x^0 = 1 \)
\( \frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y^1 = y \)
Vậy hạng tử 1 là: \( -\frac{3}{4}y \)

Hạng tử 2: \( \frac{2x^3y^2}{-2x^2y^2} \)
Chia hệ số: \( \frac{2}{-2} = -1 \)
Chia phần biến: \( \frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x^1 = x \)
\( \frac{y^2}{y^2} = y^{2-2} = y^0 = 1 \)
Vậy hạng tử 2 là: \( -1x = -x \)

Hạng tử 3: \( \frac{-\frac{3}{5}x^3y^3}{-2x^2y^2} \)
Chia hệ số: \( \frac{-3/5}{-2} = \frac{-3}{5 \cdot (-2)} = \frac{-3}{-10} = \frac{3}{10} \)
Chia phần biến: \( \frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x^1 = x \)
\( \frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y^1 = y \)
Vậy hạng tử 3 là: \( \frac{3}{10}xy \)

Ghép các hạng tử lại ta được kết quả của A:
A = \( -\frac{3}{4}y – x + \frac{3}{10}xy \)

Hoặc viết theo thứ tự các biến:
A = \( -x + \frac{3}{10}xy – \frac{3}{4}y \)

Biểu thức B = \( (\frac{3}{4}x^2y – \frac{3}{7}xy^2) \cdot (-\frac{28}{xy^3}) \)

Đây là phép nhân đa thức với đơn thức. Chúng ta sẽ nhân lần lượt từng hạng tử của đa thức với đơn thức.
B = \( (\frac{3}{4}x^2y) \cdot (-\frac{28}{xy^3}) + (-\frac{3}{7}xy^2) \cdot (-\frac{28}{xy^3}) \)

Thực hiện phép nhân từng hạng tử:

Hạng tử 1: \( (\frac{3}{4}x^2y) \cdot (-\frac{28}{xy^3}) \)
Nhân hệ số: \( \frac{3}{4} \cdot (-\frac{28}{1}) = -\frac{3 \cdot 28}{4} = -3 \cdot 7 = -21 \)
Nhân phần biến: \( \frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x^1 = x \)
\( \frac{y}{y^3} = y^{1-3} = y^{-2} = \frac{1}{y^2} \)
Vậy hạng tử 1 là: \( -21 \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} = -\frac{21x}{y^2} \)

Hạng tử 2: \( (-\frac{3}{7}xy^2) \cdot (-\frac{28}{xy^3}) \)
Nhân hệ số: \( (-\frac{3}{7}) \cdot (-\frac{28}{1}) = \frac{3 \cdot 28}{7} = 3 \cdot 4 = 12 \)
Nhân phần biến: \( \frac{x}{x} = x^{1-1} = x^0 = 1 \)
\( \frac{y^2}{y^3} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y} \)
Vậy hạng tử 2 là: \( 12 \cdot 1 \cdot \frac{1}{y} = \frac{12}{y} \)

Ghép các hạng tử lại ta được kết quả của B:
B = \( -\frac{21x}{y^2} + \frac{12}{y} \)

Hoặc viết với mẫu số chung:
B = \( -\frac{21x}{y^2} + \frac{12y}{y^2} = \frac{12y – 21x}{y^2} \)

Biểu thức C = \( (x-4) \cdot (x^2 + 4x + 16) – x(x-5)(x+5) \)

Chúng ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức C.

Phần 1: \( (x-4) \cdot (x^2 + 4x + 16) \)
Đây là dạng hằng đẳng thức \( (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 – b^3 \).
Ở đây, \(a=x\) và \(b=4\).
Kiểm tra: \( (x-4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2) = (x-4)(x^2 + 4x + 16) \). Đúng dạng.
Vậy, \( (x-4) \cdot (x^2 + 4x + 16) = x^3 – 4^3 = x^3 – 64 \)

Phần 2: \( x(x-5)(x+5) \)
Trước hết, xử lý \( (x-5)(x+5) \). Đây là dạng hằng đẳng thức \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \).
Ở đây, \(a=x\) và \(b=5\).
Vậy, \( (x-5)(x+5) = x^2 – 5^2 = x^2 – 25 \)
Bây giờ, nhân với \(x\):
\( x(x^2 – 25) = x \cdot x^2 – x \cdot 25 = x^3 – 25x \)

Bây giờ, ghép hai phần lại để tính C:
C = \( (x^3 – 64) – (x^3 – 25x) \)
C = \( x^3 – 64 – x^3 + 25x \)
C = \( (x^3 – x^3) + 25x – 64 \)
C = \( 0 + 25x – 64 \)
C = \( 25x – 64 \)

Biểu thức D = \( (2x-1)(x+3) – 2(x-5)^2 \)

Chúng ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức D.

Phần 1: \( (2x-1)(x+3) \)
Đây là phép nhân hai đa thức. Chúng ta dùng phương pháp phân phối.
\( (2x-1)(x+3) = 2x \cdot (x+3) – 1 \cdot (x+3) \)
\( = (2x \cdot x + 2x \cdot 3) – (1 \cdot x + 1 \cdot 3) \)
\( = (2x^2 + 6x) – (x + 3) \)
\( = 2x^2 + 6x – x – 3 \)
\( = 2x^2 + 5x – 3 \)

Phần 2: \( 2(x-5)^2 \)
Trước hết, tính \( (x-5)^2 \). Đây là dạng hằng đẳng thức \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \).
Ở đây, \(a=x\) và \(b=5\).
\( (x-5)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 \)
\( = x^2 – 10x + 25 \)
Bây giờ, nhân với 2:
\( 2(x^2 – 10x + 25) = 2 \cdot x^2 – 2 \cdot 10x + 2 \cdot 25 \)
\( = 2x^2 – 20x + 50 \)

Bây giờ, ghép hai phần lại để tính D:
D = \( (2x^2 + 5x – 3) – (2x^2 – 20x + 50) \)
D = \( 2x^2 + 5x – 3 – 2x^2 + 20x – 50 \)
Gom các hạng tử đồng dạng:
D = \( (2x^2 – 2x^2) + (5x + 20x) + (-3 – 50) \)
D = \( 0 + 25x – 53 \)
D = \( 25x – 53 \)

Vậy là chúng ta đã hoàn thành tất cả các bài tập. Các em xem lại từng bước, đặc biệt là cách áp dụng các quy tắc nhân đơn thức, nhân đa thức và các hằng đẳng thức nhé. Nếu có chỗ nào chưa hiểu, đừng ngần ngại hỏi lại thầy/cô!

Chúc các em học tốt!