Chào các em học sinh thân mến, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị liên quan đến điều kiện xác định của hàm số, một kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 11 của chúng ta.

Đề bài: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn \( [0;10] \) để hàm số \( y = \sqrt{m – 2\sin x} \) xác định trên R.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi theo các bước sau đây:

Bước 1: Điều kiện xác định của hàm số chứa căn bậc hai.

Một hàm số dạng \( y = \sqrt{A(x)} \) xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là \( A(x) \ge 0 \).

Áp dụng vào hàm số đã cho: \( y = \sqrt{m – 2\sin x} \), điều kiện xác định là:

\( m – 2\sin x \ge 0 \)

Điều này tương đương với:

\( m \ge 2\sin x \)

Bước 2: Phân tích yêu cầu “xác định trên R”.

Đề bài yêu cầu hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực R. Điều này có nghĩa là bất đẳng thức \( m \ge 2\sin x \) phải đúng với mọi giá trị của \( x \in \mathbb{R} \).

Để \( m \ge 2\sin x \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), thì \( m \) phải lớn hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \( 2\sin x \).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( 2\sin x \).

Chúng ta đã biết rằng, với mọi \( x \in \mathbb{R} \), giá trị của hàm số \( \sin x \) luôn nằm trong đoạn \( [-1; 1] \):

\( -1 \le \sin x \le 1 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân tất cả các vế của bất đẳng thức này với 2 (một số dương, nên không đổi chiều bất đẳng thức):

\( 2 \cdot (-1) \le 2\sin x \le 2 \cdot 1 \)

\( -2 \le 2\sin x \le 2 \)

Như vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức \( 2\sin x \) là 2. Giá trị này đạt được khi \( \sin x = 1 \), ví dụ khi \( x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).

Bước 4: Thiết lập điều kiện cho tham số \( m \).

Từ Bước 2 và Bước 3, để \( m \ge 2\sin x \) đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), chúng ta phải có:

\( m \ge \max(2\sin x) \)

\( m \ge 2 \)

Bước 5: Kết hợp với điều kiện của tham số \( m \) được cho trong đề bài.

Đề bài yêu cầu \( m \) là một giá trị nguyên và nằm trong đoạn \( [0;10] \).

Vậy chúng ta có hai điều kiện cho \( m \):

1. \( m \ge 2 \)

2. \( 0 \le m \le 10 \) và \( m \) là số nguyên.

Kết hợp hai điều kiện này, ta được:

\( 2 \le m \le 10 \)

và \( m \) là số nguyên.

Bước 6: Đếm số giá trị nguyên của \( m \).

Các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn \( 2 \le m \le 10 \) là:

\( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \)

Để đếm số lượng các giá trị này, chúng ta có thể lấy giá trị cuối trừ đi giá trị đầu rồi cộng 1:

Số giá trị của \( m = 10 – 2 + 1 = 9 \).

Kết luận:

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số \( m \) trong đoạn \( [0;10] \) để hàm số đã cho xác định trên R.

Các em nhớ rằng, khi làm bài tập dạng này, việc hiểu rõ tập giá trị của các hàm lượng giác cơ bản là rất quan trọng nhé!

Chúc các em học tốt!