Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là một dạng bài rất quan trọng, đòi hỏi sự cẩn thận và nắm vững các phép biến đổi đại số.

Chúng ta có hai biểu thức cần rút gọn trong bài này. Cô sẽ hướng dẫn các em làm từng biểu thức một nhé.

***

Bài toán 1: Rút gọn biểu thức
\(\dfrac{3}{\sqrt{x}+2} +\dfrac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{2x- 3\sqrt{x} +6}{x-4} \)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Để biểu thức có nghĩa, ta cần:

• Các biểu thức dưới dấu căn không âm: \(x \ge 0\).
• Các mẫu số phải khác 0:
  • \(\sqrt{x}+2 \ne 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(\sqrt{x}+2 \ge 2\).
  • \(2-\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 2 \Rightarrow x \ne 4\).
  • \(x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4\). (Lưu ý: \(x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\))

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là: \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\).

Bước 2: Phân tích các mẫu số và tìm mẫu số chung.

Ta có:

• Mẫu số thứ nhất: \(\sqrt{x}+2\)
• Mẫu số thứ hai: \(2-\sqrt{x} = -(\sqrt{x}-2)\). Để thuận tiện cho việc tìm mẫu chung, ta có thể viết lại thành: \(-(\sqrt{x}-2)\)
• Mẫu số thứ ba: \(x-4 = (\sqrt{x})^2 – 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\)

Mẫu số chung của ba phân thức là \((\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\).

Bước 3: Quy đồng mẫu số các phân thức.

Viết lại biểu thức đã cho, ký hiệu là A:

\(A = \dfrac{3}{\sqrt{x}+2} +\dfrac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{2x- 3\sqrt{x} +6}{x-4} \)

\(A = \dfrac{3}{\sqrt{x}+2} +\dfrac{\sqrt{x}}{-(\sqrt{x}-2)}+\dfrac{2x- 3\sqrt{x} +6}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \)

\(A = \dfrac{3(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} -\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}+\dfrac{2x- 3\sqrt{x} +6}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \)

Bước 4: Cộng hoặc trừ các tử số.

\(A = \dfrac{3(\sqrt{x}-2) – \sqrt{x}(\sqrt{x}+2) + (2x- 3\sqrt{x} +6)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \)

Khai triển tử số:

Tử số \(= 3\sqrt{x} – 6 – (x + 2\sqrt{x}) + 2x – 3\sqrt{x} + 6 \)

Tử số \(= 3\sqrt{x} – 6 – x – 2\sqrt{x} + 2x – 3\sqrt{x} + 6 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

Tử số \(= (-x + 2x) + (3\sqrt{x} – 2\sqrt{x} – 3\sqrt{x}) + (-6 + 6) \)

Tử số \(= x – 2\sqrt{x} \)

Bước 5: Rút gọn phân thức.

Thay tử số đã rút gọn vào biểu thức A:

\(A = \dfrac{x – 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \)

Phân tích tử số thành nhân tử: \(x – 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-2)\)

\(A = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \)

Vì \(x \ne 4\), nên \(\sqrt{x}-2 \ne 0\). Do đó, ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}-2\) ở cả tử và mẫu.

\(A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \)

Kết luận:

Vậy, với điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\), biểu thức đã cho rút gọn được là:

\(\dfrac{3}{\sqrt{x}+2} +\dfrac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{2x- 3\sqrt{x} +6}{x-4} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \)

***

Bài toán 2: Rút gọn biểu thức
\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+ \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} -\dfrac{2}{x-\sqrt{x}}\)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Để biểu thức có nghĩa, ta cần:

• Các biểu thức dưới dấu căn không âm: \(x \ge 0\).
• Các mẫu số phải khác 0:
  • \(\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
  • \(\sqrt{x}+1 \ne 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(\sqrt{x}+1 \ge 1\).
  • \(x-\sqrt{x} \ne 0\). Ta phân tích \(x-\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\).
    Vậy \(\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\) và \(\sqrt{x}-1 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1\).

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là: \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

Bước 2: Phân tích các mẫu số và tìm mẫu số chung.

Ta có:

• Mẫu số thứ nhất: \(\sqrt{x}\)
• Mẫu số thứ hai: \(\sqrt{x}+1\)
• Mẫu số thứ ba: \(x-\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\)

Mẫu số chung của ba phân thức là \(\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\).

Bước 3: Quy đồng mẫu số các phân thức.

Viết lại biểu thức đã cho, ký hiệu là B:

\(B = \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+ \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} -\dfrac{2}{x-\sqrt{x}}\)

\(B = \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+ \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} -\dfrac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\)

\(B = \dfrac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + \dfrac{1 \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} – \dfrac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)

Lưu ý rằng \((\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = x-1\).

\(B = \dfrac{(\sqrt{x}-2)(x-1)}{\sqrt{x}(x-1)} + \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(x-1)} – \dfrac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(x-1)}\)

Bước 4: Cộng hoặc trừ các tử số.

\(B = \dfrac{(\sqrt{x}-2)(x-1) + \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) – 2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(x-1)}\)

Khai triển tử số:

Tử số \(= (\sqrt{x} \cdot x – \sqrt{x} – 2x + 2) + (x – \sqrt{x}) – (2\sqrt{x} + 2) \)

Tử số \(= x\sqrt{x} – \sqrt{x} – 2x + 2 + x – \sqrt{x} – 2\sqrt{x} – 2 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

Tử số \(= x\sqrt{x} + (-2x + x) + (-\sqrt{x} – \sqrt{x} – 2\sqrt{x}) + (2 – 2) \)

Tử số \(= x\sqrt{x} – x – 4\sqrt{x} \)

Bước 5: Rút gọn phân thức.

Thay tử số đã rút gọn vào biểu thức B:

\(B = \dfrac{x\sqrt{x} – x – 4\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x-1)} \)

Phân tích tử số thành nhân tử (đặt \(\sqrt{x}\) ra ngoài):

Tử số \(= \sqrt{x}(x – \sqrt{x} – 4) \)

\(B = \dfrac{\sqrt{x}(x – \sqrt{x} – 4)}{\sqrt{x}(x-1)} \)

Vì \(x > 0\), nên \(\sqrt{x} \ne 0\). Do đó, ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}\) ở cả tử và mẫu.

\(B = \dfrac{x – \sqrt{x} – 4}{x-1} \)

Kết luận:

Vậy, với điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 1\), biểu thức đã cho rút gọn được là:

\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+ \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} -\dfrac{2}{x-\sqrt{x}} = \dfrac{x – \sqrt{x} – 4}{x-1} \)

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô.