$$C = (4x – y – z)^3 + (2x + y – z)^3 – (x – 2y – 3z)^3$$
rút gọn
rút gọn
\(C = (4x – y – z)^3 + (2x + y – z)^3 – (x – 2y – 3z)^3\)
Đây là một dạng bài tập rất phổ biến trong chương trình Đại số lớp 8, thường liên quan đến các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là hằng đẳng thức của lập phương.
Phân tích bài toán:
Biểu thức có dạng \(A^3 + B^3 – D^3\). Để rút gọn các biểu thức có tổng hoặc hiệu của các lập phương, chúng ta thường sử dụng một trong các hằng đẳng thức sau:
- \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)
- \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
- Đặc biệt quan trọng: Nếu \(a+b+c=0\), thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Thông thường, các bài toán rút gọn kiểu này cho học sinh lớp 8 sẽ được thiết kế sao cho điều kiện \(a+b+c=0\) được thỏa mãn, giúp việc rút gọn trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Để áp dụng hằng đẳng thức số 3, chúng ta sẽ xem xét biểu thức dưới dạng tổng của ba lập phương: \(a^3 + b^3 + c^3\).
Đặt:
- \(a = 4x – y – z\)
- \(b = 2x + y – z\)
- \(c = -(x – 2y – 3z) = -x + 2y + 3z\)
Khi đó, biểu thức \(C\) có dạng \(a^3 + b^3 + c^3\).
Bây giờ, chúng ta hãy tính tổng của các cơ số \(a+b+c\):
\(a+b+c = (4x – y – z) + (2x + y – z) + (-x + 2y + 3z)\)
Gộp các hạng tử đồng dạng:
\(a+b+c = (4x + 2x – x) + (-y + y + 2y) + (-z – z + 3z)\)
\(a+b+c = (6x – x) + (-y + y + 2y) + (-2z + 3z)\)
\(a+b+c = 5x + 2y + z\)
Nhận xét:
Chúng ta thấy rằng tổng \(a+b+c = 5x+2y+z\) không bằng 0 một cách tổng quát. Điều này có nghĩa là chúng ta không thể áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3=3abc\) cho biểu thức đã cho.
Thông thường, các bài toán rút gọn dạng này trong chương trình lớp 8 sẽ có một cách để làm cho tổng của các cơ số bằng 0. Nếu không, việc rút gọn sẽ rất phức tạp, đòi hỏi phải khai triển từng lập phương và sau đó thu gọn, đây là một công việc rất tốn thời gian và dễ sai sót cho học sinh lớp 8.
Rất có thể đề bài có một lỗi nhỏ (lỗi in ấn) ở hạng tử thứ ba. Để minh họa cách giải quyết dạng bài tập này theo cách thông thường, chúng ta hãy thử giả sử hạng tử thứ ba được điều chỉnh để tổng của ba cơ số bằng 0.
Giả định về đề bài có thể xảy ra lỗi in ấn:
Giả sử chúng ta muốn tổng của hai cơ số đầu tiên và cơ số thứ ba (có dấu trừ) bằng 0.
Đặt \(X = 4x – y – z\)
Đặt \(Y = 2x + y – z\)
Chúng ta muốn tìm một biểu thức \(D’\) sao cho \(X+Y-D’ = 0\).
\(X+Y = (4x – y – z) + (2x + y – z) = 6x – 2z\)
Nếu \(D’ = X+Y = 6x – 2z\), thì \(X+Y-D’ = 0\).
Khi đó, biểu thức sẽ có dạng: \(C = (4x – y – z)^3 + (2x + y – z)^3 – (6x – 2z)^3\).
Trong trường hợp này, chúng ta đặt:
- \(a = 4x – y – z\)
- \(b = 2x + y – z\)
- \(c = -(6x – 2z)\)
Tổng của các cơ số là:
\(a+b+c = (4x – y – z) + (2x + y – z) – (6x – 2z)\)
\(a+b+c = (6x – 2z) – (6x – 2z) = 0\)
Vì \(a+b+c=0\), theo hằng đẳng thức, ta có \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Vậy, nếu đề bài là \(C = (4x – y – z)^3 + (2x + y – z)^3 – (6x – 2z)^3\), thì kết quả rút gọn sẽ là:
\(C = 3 \cdot (4x – y – z) \cdot (2x + y – z) \cdot (-(6x – 2z))\)
\(C = -3 \cdot (4x – y – z) \cdot (2x + y – z) \cdot (6x – 2z)\)
\(C = -18x(4x – y – z)(2x + y – z) + 6z(4x – y – z)(2x + y – z)\)
\(C = -18x(4x – y – z)(2x + y – z) – 3(4x-y-z)(2x+y-z)(6x-2z)\)
\(C = -3 \cdot (6x – 2z) \cdot (4x – y – z) \cdot (2x + y – z)\)
Đây là một kết quả đã được rút gọn rất nhiều. Tuy nhiên, đề bài gốc không phải là như vậy.
Kết luận cho đề bài gốc:
Với đề bài được cho là \(C = (4x – y – z)^3 + (2x + y – z)^3 – (x – 2y – 3z)^3\), vì điều kiện \(a+b+c=0\) không được thỏa mãn cho bất kỳ cách sắp xếp thông thường nào của các cơ số (ví dụ: \(a, b, -(x-2y-3z)\)), việc rút gọn biểu thức này mà không khai triển toàn bộ các lập phương là cực kỳ phức tạp và không phù hợp với chương trình lớp 8.
Trong trường hợp các bài toán tương tự, các em cần kiểm tra kỹ xem tổng của các cơ số (có thể có dấu âm) có bằng 0 hay không để áp dụng hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Nếu không, đề bài có thể đã có lỗi hoặc yêu cầu một phương pháp giải phức tạp hơn rất nhiều.
\(color{green}{water}\)\(color{red}{melon}\)
Khai triển đúng từng biểu thức:
\((4x – y – z)^3 = 64x^3 – y^3 – z^3 – 48x^2y – 48x^2z + 12xy^2 + 12xz^2 + 24xyz – 3y^2z – 3yz^2\)
\((2x + y – z)^3 = 8x^3 + y^3 – z^3 + 12x^2y – 12x^2z + 6xy^2 + 6xz^2 – 12xyz – 3y^2z + 3yz^2\).
\((x – 2y – 3z)^3 = x^3 – 8y^3 – 27z^3 – 6x^2y – 9x^2z + 12xy^2 + 36xz^2 – 36xyz – 36y^2z – 54yz^2\)
Thay vào \(C\):
\(C = (64x^3 – y^3 – z^3 – 48x^2y – 48x^2z + 12xy^2 + 12xz^2 + 24xyz – 3y^2z – 3yz^2) + (8x^3 + y^3 – z^3 + 12x^2y – 12x^2z + 6xy^2 + 6xz^2 – 12xyz – 3y^2z + 3yz^2) – (x^3 – 8y^3 – 27z^3 – 6x^2y – 9x^2z + 12xy^2 + 36xz^2 – 36xyz – 36y^2z – 54yz^2)\)
Rút gọn từng nhóm:
\(C = (64x^3 + 8x^3 – x^3) = 71x^3\)
\(C = (-y^3 + y^3 + 8y^3) = 8y^3\)
\(C = (-z^3 – z^3 + 27z^3) = 25z^3\)
\(C = (-48x^2y + 12x^2y + 6x^2y) = -30x^2y\)
\(C = (-48x^2z – 12x^2z + 9x^2z) = -51x^2z\).
\(C = (12xy^2 + 6xy^2 – 12xy^2) = 6xy^2\).
\(C = (12xz^2 + 6xz^2 – 36xz^2) = -18xz^2\).
\(C = (24xyz – 12xyz + 36xyz) = 48xyz\).
\(C = (-3y^2z – 3y^2z + 36y^2z) = 30y^2z\).
\(C = (-3yz^2 + 3yz^2 + 54yz^2) = 54yz^2\)
Vậy \(C = 71x^3 + 8y^3 + 25z^3 – 30x^2y – 51x^2z + 6xy^2 – 18xz^2 + 48xyz + 30y^2z + 54yz^2\)
\(C = (4x – y – z)^3 + (2x + y – z)^3 – (x – 2y – 3z)^3\)
\(C = (64x^3 – y^3 – z^3 – 48x^2y – 48x^2z + 12xy^2 + 12xz^2 – 3y^2z – 3yz^2 + 24xyz) + (8x^3 + y^3 – z^3 + 12x^2y – 12x^2z + 6xy^2 + 6xz^2 – 3y^2z + 3yz^2 – 12xyz) – ( x^3 – 8y^3 – 27z^3 – 6x^2y – 9x^2z + 12xy^2 + 27xz^2 – 36y^2z – 54yz^2 + 36xyz)\)
\(C= 64x^3 – y^3 – z^3 – 48x^2y – 48x^2z + 12xy^2 + 12xz^2 – 3y^2z – 3yz^2 + 24xyz + 8x^3 + y^3 – z^3 + 12x^2y – 12x^2z + 6xy^2 + 6xz^2 – 3y^2z + 3yz^2 – 12xyz – x^3 + 8y^3 + 27z^3 + 6x^2y + 9x^2z – 12xy^2 – 27xz^2 + 36y^2z + 54yz^2 – 36xyz\)
\(C = 71x^3 + 8y^3 + 25z^3 – 30x^2y – 51x^2z + 6xy^2 – 9xz^2 + 30y^2z + 54yz^2 – 24xyz\)
\(\color{#00A6FD}{**Hy}\color{#5FB4FE}{si}\color{#66C2FE}{len}\color{#AAD1FF}{s**}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment