Xin chào các em học sinh yêu quý của lớp 10!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán số học rất thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \(3^n – 1\) chia hết cho \(2^n\).

Đây là một dạng bài toán điển hình trong số học, đòi hỏi sự suy luận logic và khả năng phân tích các tính chất của lũy thừa. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc thử một vài giá trị nhỏ của \(n\) để có cái nhìn trực quan, sau đó sử dụng các công cụ mạnh mẽ hơn như đồng dư thức và định lý về lũy thừa của một số nguyên tố chia hết cho một số.

Bài toán: Tìm số nguyên dương \(n\) sao cho \(3^n – 1\) chia hết cho \(2^n\).

Lời giải:

Ký hiệu \(A \mid B\) có nghĩa là \(A\) chia hết \(B\).
Điều kiện của bài toán là \(2^n \mid (3^n – 1)\).

Bước 1: Thử các giá trị nhỏ của \(n\).

• Với \(n=1\):
  \(3^1 – 1 = 2\).
  \(2^1 = 2\).
  Ta thấy \(2 \mid 2\). Vậy \(n=1\) là một nghiệm.
• Với \(n=2\):
  \(3^2 – 1 = 9 – 1 = 8\).
  \(2^2 = 4\).
  Ta thấy \(4 \mid 8\). Vậy \(n=2\) là một nghiệm.
• Với \(n=3\):
  \(3^3 – 1 = 27 – 1 = 26\).
  \(2^3 = 8\).
  Ta thấy \(8 \nmid 26\) (vì \(26 = 3 \times 8 + 2\)). Vậy \(n=3\) không phải là nghiệm.
• Với \(n=4\):
  \(3^4 – 1 = 81 – 1 = 80\).
  \(2^4 = 16\).
  Ta thấy \(16 \mid 80\) (vì \(80 = 5 \times 16\)). Vậy \(n=4\) là một nghiệm.
• Với \(n=5\):
  \(3^5 – 1 = 243 – 1 = 242\).
  \(2^5 = 32\).
  Ta thấy \(32 \nmid 242\) (vì \(242 = 7 \times 32 + 18\)). Vậy \(n=5\) không phải là nghiệm.

Qua việc thử các giá trị nhỏ, chúng ta thấy \(n=1, 2, 4\) là các nghiệm, còn \(n=3, 5\) thì không. Điều này gợi ý rằng \(n\) có thể là một lũy thừa của 2.

Bước 2: Phân tích số mũ của 2 trong \(3^n – 1\).

Để \(2^n \mid (3^n – 1)\), số mũ lớn nhất của 2 trong phân tích thừa số nguyên tố của \(3^n – 1\) phải lớn hơn hoặc bằng \(n\).

Ký hiệu \(v_p(k)\) là số mũ lớn nhất của số nguyên tố \(p\) trong phân tích thừa số nguyên tố của số \(k\).
Điều kiện bài toán tương đương với \(v_2(3^n – 1) \ge n\).

Trường hợp 1: \(n\) là số lẻ.

Nếu \(n\) là số lẻ, ta có thể phân tích \(3^n – 1\) như sau:

\(3^n – 1 = (3 – 1)(3^{n-1} + 3^{n-2} + \dots + 3^1 + 1)\)

\(3^n – 1 = 2 \times (3^{n-1} + 3^{n-2} + \dots + 3^1 + 1)\)

Gọi \(S = 3^{n-1} + 3^{n-2} + \dots + 3^1 + 1\).

Xét \(S \pmod 2\):

Vì \(3 \equiv 1 \pmod 2\), nên \(3^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 2\) với mọi \(k \ge 0\).

Vậy \(S \equiv \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{n \text{ số hạng}} \pmod 2\)

\(S \equiv n \pmod 2\).

Vì \(n\) là số lẻ, nên \(S \equiv 1 \pmod 2\). Điều này có nghĩa là \(S\) là một số lẻ.

Do đó, \(3^n – 1 = 2 \times (\text{số lẻ})\).
Số mũ của 2 trong \(3^n – 1\) là \(v_2(3^n – 1) = v_2(2 \times \text{số lẻ}) = 1\).

Điều kiện bài toán là \(v_2(3^n – 1) \ge n\), tức là \(1 \ge n\).

Vì \(n\) là số nguyên dương, nên \(n=1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện này.

Vậy, trong trường hợp \(n\) là số lẻ, chỉ có \(n=1\) là nghiệm.

Trường hợp 3: \(n\) là số chẵn.

Đặt \(n = 2^j \cdot m\), trong đó \(j \ge 1\) (vì \(n\) là số chẵn) và \(m\) là một số lẻ.

Chúng ta sẽ sử dụng một tính chất quan trọng về \(v_2(x^k – y^k)\):

Nếu \(x\) là một số lẻ, \(k\) là một số lẻ, thì \(v_2(x^k – 1) = v_2(x – 1)\).

Áp dụng tính chất này cho \(3^n – 1 = 3^{2^j m} – 1 = (3^{2^j})^m – 1\).

Vì \(m\) là số lẻ, ta có \(v_2((3^{2^j})^m – 1) = v_2(3^{2^j} – 1)\).

Vậy, điều kiện \(v_2(3^n – 1) \ge n\) trở thành \(v_2(3^{2^j} – 1) \ge 2^j m\).

Bây giờ, chúng ta cần tìm công thức cho \(v_2(3^{2^j} – 1)\).

Đặt \(V_j = v_2(3^{2^j} – 1)\).

• Với \(j=0\), \(n=2^0=1\). Chúng ta đã tính ở trên: \(V_0 = v_2(3^1 – 1) = v_2(2) = 1\).
• Với \(j \ge 1\), \(2^j\) là số chẵn. Ta có thể viết:
  \(3^{2^j} – 1 = (3^{2^{j-1}} – 1)(3^{2^{j-1}} + 1)\).
  Vậy \(V_j = v_2(3^{2^{j-1}} – 1) + v_2(3^{2^{j-1}} + 1) = V_{j-1} + v_2(3^{2^{j-1}} + 1)\).

Bây giờ, ta xét \(v_2(3^{2^{j-1}} + 1)\):

• Nếu \(j=1\), thì \(2^{j-1} = 2^0 = 1\).
  \(v_2(3^{2^0} + 1) = v_2(3^1 + 1) = v_2(4) = 2\).
  Suy ra \(V_1 = V_0 + 2 = 1 + 2 = 3\).
  Kiểm tra: \(v_2(3^2-1) = v_2(8) = 3\). Đúng.
• Nếu \(j \ge 2\), thì \(2^{j-1}\) là một số chẵn (\(\ge 2\)).
  Khi đó, \(3^{2^{j-1}} = (3^2)^{2^{j-2}} = 9^{2^{j-2}}\).
  Vì \(9 \equiv 1 \pmod 4\), nên \(9^{2^{j-2}} \equiv 1^{2^{j-2}} \equiv 1 \pmod 4\).
  Vậy \(3^{2^{j-1}} + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod 4\).
  Điều này có nghĩa là \(v_2(3^{2^{j-1}} + 1) = 1\).
  Suy ra \(V_j = V_{j-1} + 1\) với \(j \ge 2\).

Tóm tắt lại giá trị của \(V_j\):

• \(V_0 = 1\) (khi \(n=1\))
• \(V_1 = 3\) (khi \(n=2\))
• \(V_2 = V_1 + 1 = 3 + 1 = 4\) (khi \(n=4\))
• \(V_3 = V_2 + 1 = 4 + 1 = 5\) (khi \(n=8\))
• Tổng quát, với \(j \ge 1\), ta có \(V_j = (j-1) + V_1 = (j-1) + 3 = j+2\).

Vậy, \(v_2(3^{2^j} – 1) = \begin{cases} 1 & \text{khi } j=0 \\ j+2 & \text{khi } j \ge 1 \end{cases}\)

Bây giờ chúng ta xét lại điều kiện \(v_2(3^{2^j} – 1) \ge 2^j m\):

Trường hợp 3a: \(n\) có thừa số lẻ \(m > 1\).

Điều này có nghĩa là \(j \ge 1\) và \(m \ge 3\) (vì \(m\) là số lẻ).
Điều kiện trở thành \(j+2 \ge 2^j m\).

Vì \(m \ge 3\), ta có \(2^j m \ge 3 \cdot 2^j\).

Vậy, ta cần kiểm tra xem \(j+2 \ge 3 \cdot 2^j\) có đúng không với \(j \ge 1\):

• Nếu \(j=1\): \(1+2 = 3\). \(3 \cdot 2^1 = 6\). \(3 \ge 6\) là SAI.
• Nếu \(j=2\): \(2+2 = 4\). \(3 \cdot 2^2 = 12\). \(4 \ge 12\) là SAI.
• Nếu \(j=3\): \(3+2 = 5\). \(3 \cdot 2^3 = 24\). \(5 \ge 24\) là SAI.

Rõ ràng, hàm số \(3 \cdot 2^j\) tăng rất nhanh, nhanh hơn nhiều so với \(j+2\). Do đó, bất đẳng thức \(j+2 \ge 3 \cdot 2^j\) không bao giờ đúng với \(j \ge 1\).

Vậy, không có nghiệm nào khi \(n\) có thừa số lẻ \(m > 1\).

Trường hợp 3b: \(n\) không có thừa số lẻ nào khác 1.

Điều này có nghĩa là \(m=1\). Vậy \(n\) phải là một lũy thừa của 2, tức là \(n = 2^j\) với \(j \ge 0\).

Điều kiện ban đầu \(v_2(3^n – 1) \ge n\) trở thành \(v_2(3^{2^j} – 1) \ge 2^j\).

• Nếu \(j=0\), \(n=2^0=1\).
  \(v_2(3^1 – 1) = 1\).
  Điều kiện: \(1 \ge 1\). Điều này đúng. Vậy \(n=1\) là một nghiệm (chúng ta đã tìm thấy ở Bước 1 và Trường hợp 1).
• Nếu \(j \ge 1\), \(n=2^j\).
  \(v_2(3^{2^j} – 1) = j+2\).
  Điều kiện: \(j+2 \ge 2^j\).

Kiểm tra bất đẳng thức \(j+2 \ge 2^j\) cho các giá trị \(j \ge 1\):

• Nếu \(j=1\): \(1+2 = 3\). \(2^1 = 2\). \(3 \ge 2\). Điều này đúng. Vậy \(n=2^1=2\) là một nghiệm.
• Nếu \(j=2\): \(2+2 = 4\). \(2^2 = 4\). \(4 \ge 4\). Điều này đúng. Vậy \(n=2^2=4\) là một nghiệm.
• Nếu \(j=3\): \(3+2 = 5\). \(2^3 = 8\). \(5 \ge 8\). Điều này SAI.
• Nếu \(j=4\): \(4+2 = 6\). \(2^4 = 16\). \(6 \ge 16\). Điều này SAI.

Tương tự như trên, hàm số \(2^j\) tăng nhanh hơn nhiều so với \(j+2\) khi \(j\) tăng lên. Do đó, bất đẳng thức \(j+2 \ge 2^j\) chỉ đúng với \(j=1\) và \(j=2\).

Kết luận:

Tổng hợp từ tất cả các trường hợp, các giá trị của \(n\) thỏa mãn điều kiện bài toán là \(n=1, n=2, n=4\).

Chúc các em học tốt!