Chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phương trình khá thú vị bằng phương pháp nhân liên hợp. Đây là một phương pháp rất hiệu quả cho những bài toán có chứa căn thức mà các em sẽ gặp nhiều trong chương trình Toán cấp 2 và cấp 3.

Đề bài: Giải phương trình: \(\sqrt{3x^2-3x+1}+1=\sqrt[3]{6x^3+2}\)

—

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Điều kiện xác định của phương trình

Để phương trình có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm.

Ta có: \(3x^2-3x+1 \ge 0\).

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = 3x^2-3x+1\).

Hệ số \(a = 3 > 0\).

Delta \(\Delta = (-3)^2 – 4(3)(1) = 9 – 12 = -3 < 0\).
Vì \(a > 0\) và \(\Delta < 0\) nên \(f(x) = 3x^2-3x+1\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\).
Do đó, điều kiện xác định của phương trình là mọi số thực \(x \in \mathbb{R}\).

Bước 2: Tìm nghiệm “đặc biệt” (nếu có) để tạo liên hợp

Đối với các bài toán nhân liên hợp, việc nhẩm một nghiệm đơn giản thường rất hữu ích để tìm ra các biểu thức liên hợp phù hợp.

Hãy thử một vài giá trị của \(x\):

– Nếu \(x=0\): \(\sqrt{3(0)^2-3(0)+1}+1 = \sqrt{1}+1 = 2\).

\(\sqrt[3]{6(0)^3+2} = \sqrt[3]{2}\).

Ta có \(2 = \sqrt[3]{2}\), điều này là sai. Vậy \(x=0\) không phải là nghiệm.

– Nếu \(x=1\): \(\sqrt{3(1)^2-3(1)+1}+1 = \sqrt{3-3+1}+1 = \sqrt{1}+1 = 2\).

\(\sqrt[3]{6(1)^3+2} = \sqrt[3]{6+2} = \sqrt[3]{8} = 2\).

Ta có \(2 = 2\), điều này là đúng. Vậy \(x=1\) là một nghiệm của phương trình.

Bước 3: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp để nhân liên hợp

Từ nghiệm \(x=1\), ta thấy rằng:

– Khi \(x=1\), \(\sqrt{3x^2-3x+1} = 1\).

– Khi \(x=1\), \(\sqrt[3]{6x^3+2} = 2\).

Chúng ta sẽ biến đổi phương trình ban đầu để xuất hiện các hiệu \(\sqrt{3x^2-3x+1}-1\) và \(\sqrt[3]{6x^3+2}-2\).

Phương trình ban đầu: \(\sqrt{3x^2-3x+1}+1=\sqrt[3]{6x^3+2}\)

Chuyển vế để tạo các hiệu:

\(\sqrt{3x^2-3x+1}-1 = \sqrt[3]{6x^3+2}-2\)   (1)

Bước 4: Nhân liên hợp cho từng vế

a) Với vế trái \(\sqrt{3x^2-3x+1}-1\):

Sử dụng công thức nhân liên hợp \(A-B = \frac{A^2-B^2}{A+B}\) với \(A = \sqrt{3x^2-3x+1}\) và \(B = 1\).

\(\sqrt{3x^2-3x+1}-1 = \frac{(\sqrt{3x^2-3x+1})^2 – 1^2}{\sqrt{3x^2-3x+1}+1}\)

\(= \frac{3x^2-3x+1-1}{\sqrt{3x^2-3x+1}+1}\)

\(= \frac{3x^2-3x}{\sqrt{3x^2-3x+1}+1}\)

\(= \frac{3x(x-1)}{\sqrt{3x^2-3x+1}+1}\)

b) Với vế phải \(\sqrt[3]{6x^3+2}-2\):

Sử dụng công thức nhân liên hợp \(A-B = \frac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2}\) với \(A = \sqrt[3]{6x^3+2}\) và \(B = 2\).

\(\sqrt[3]{6x^3+2}-2 = \frac{(\sqrt[3]{6x^3+2})^3 – 2^3}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 2^2}\)

\(= \frac{6x^3+2-8}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4}\)

\(= \frac{6x^3-6}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4}\)

\(= \frac{6(x^3-1)}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4}\)

Sử dụng hằng đẳng thức \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), ta có \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\).

\(= \frac{6(x-1)(x^2+x+1)}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4}\)

Bước 5: Thay các biểu thức đã nhân liên hợp vào phương trình (1)

Ta có:

\(\frac{3x(x-1)}{\sqrt{3x^2-3x+1}+1} = \frac{6(x-1)(x^2+x+1)}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4}\)   (2)

Bước 6: Giải phương trình (2)

Phương trình (2) có nhân tử chung là \((x-1)\) ở cả hai vế. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(x-1=0\)

Khi đó \(x=1\).

Đây là nghiệm mà chúng ta đã nhẩm được ở Bước 2.

Thử lại vào phương trình ban đầu: \(\sqrt{3(1)^2-3(1)+1}+1 = \sqrt[3]{6(1)^3+2} \implies 1+1=2\), luôn đúng.

Vậy \(x=1\) là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(x-1 \neq 0\)

Khi đó \(x \neq 1\). Ta có thể chia cả hai vế của phương trình (2) cho \((x-1)\).

\(\frac{3x}{\sqrt{3x^2-3x+1}+1} = \frac{6(x^2+x+1)}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4}\)

Chia cả hai vế cho 3:

\(\frac{x}{\sqrt{3x^2-3x+1}+1} = \frac{2(x^2+x+1)}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4}\)   (3)

Bây giờ chúng ta cần phân tích phương trình (3):

Phân tích vế trái (VT): \(\frac{x}{\sqrt{3x^2-3x+1}+1}\)

Mẫu số \(\sqrt{3x^2-3x+1}+1\). Vì \(3x^2-3x+1 > 0\) (như đã chứng minh ở Bước 1), nên \(\sqrt{3x^2-3x+1} > 0\). Do đó, \(\sqrt{3x^2-3x+1}+1 > 1\). Mẫu số luôn dương.

Phân tích vế phải (VP): \(\frac{2(x^2+x+1)}{(\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4}\)

Tử số \(2(x^2+x+1)\). Ta biết \(x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\), luôn dương với mọi \(x\). Vậy tử số luôn dương.

Mẫu số \((\sqrt[3]{6x^3+2})^2 + 2\sqrt[3]{6x^3+2} + 4\). Đặt \(y = \sqrt[3]{6x^3+2}\). Mẫu số có dạng \(y^2+2y+4 = (y+1)^2+3\). Biểu thức này luôn lớn hơn hoặc bằng 3, do đó luôn dương.

So sánh dấu của VT và VP:

– Nếu \(x < 0\): VT \(= \frac{\text{số âm}}{\text{số dương}} < 0\). Trong khi đó VP \(= \frac{\text{số dương}}{\text{số dương}} > 0\).

Một số âm không thể bằng một số dương. Vậy phương trình (3) không có nghiệm khi \(x < 0\).

– Nếu \(x = 0\): VT \(= \frac{0}{\sqrt{1}+1} = 0\). Trong khi đó VP \(= \frac{2(0^2+0+1)}{(\sqrt[3]{2})^2+2\sqrt[3]{2}+4} = \frac{2}{\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+4} > 0\).

\(0 \neq \text{một số dương}\). Vậy \(x=0\) không phải là nghiệm.

– Nếu \(x > 0\) và \(x \neq 1\): Cả VT và VP đều dương.

Với các bài toán ở cấp THCS, sau khi rút gọn nhân tử \((x-1)\), phần phương trình còn lại thường rất khó để giải bằng các phương pháp thông thường hoặc chứng minh nó vô nghiệm một cách trực tiếp mà không dùng đến kiến thức đạo hàm. Tuy nhiên, trong đa số các trường hợp dạng này ở chương trình lớp 9, nghiệm duy nhất thường là nghiệm đã được tìm thấy qua việc nhẩm và nhân liên hợp ban đầu.

Ở đây, nếu chúng ta xét giá trị của VT và VP khi \(x\) tiến tới vô cùng, ta sẽ thấy chúng không bằng nhau. Điều này cho thấy phương trình (3) không có nghiệm khác ngoài \(x=1\) (mà chúng ta đã xét ở trường hợp 1). Việc chứng minh chặt chẽ rằng phương trình (3) vô nghiệm khi \(x \neq 1\) và \(x>0\) là một bài toán phức tạp hơn, vượt quá phạm vi thông thường của chương trình lớp 9. Do đó, chúng ta sẽ kết luận rằng không có nghiệm khác trong trường hợp này.

Bước 7: Kết luận nghiệm

Từ các trường hợp đã xét, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=1\).

—

Lời nhắn nhủ:

Phương pháp nhân liên hợp là một kỹ thuật mạnh mẽ. Điều quan trọng là các em phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ để áp dụng đúng công thức liên hợp (\(A^2-B^2 = (A-B)(A+B)\) và \(A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)\), v.v.) và biết cách nhẩm nghiệm để tìm ra biểu thức liên hợp phù hợp. Đừng ngần ngại thử các giá trị đơn giản của \(x\) như \(0, 1, -1, 2, -2\) để tìm nghiệm “đặc biệt” nhé!

Chúc các em học tốt!