Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên Toán của lớp mình đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về xác suất rất thú vị liên quan đến việc làm bài thi trắc nghiệm. Bài toán này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách tính xác suất trong các trường hợp có nhiều lựa chọn.

Chúng ta cùng xem đề bài nhé:

Một đề thi gồm 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án. Bạn An làm bài ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn được:

a) 9 điểm

b) 2 điểm.

Các em lưu ý, mỗi câu đúng được 1 điểm và mỗi câu sai bị trừ 0 điểm (vì bài toán chỉ nói An làm bài ngẫu nhiên chứ không đề cập đến việc bị trừ điểm). Do đó, để được 9 điểm thì An phải trả lời đúng 9 câu và sai 1 câu. Tương tự, để được 2 điểm thì An phải trả lời đúng 2 câu và sai 8 câu.

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng ý a) và b).

Phần a) Tính xác suất để bạn An được 9 điểm.

Để đạt được 9 điểm, bạn An cần trả lời đúng 9 câu và sai 1 câu trong tổng số 10 câu.

Bước 1: Xác định xác suất trả lời đúng và sai cho mỗi câu.

Vì mỗi câu có 4 phương án và An làm bài ngẫu nhiên, nên xác suất để trả lời đúng một câu là:

\(P(\text{đúng}) = \frac{1}{4}\)

Và xác suất để trả lời sai một câu là:

\(P(\text{sai}) = 1 – P(\text{đúng}) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

Bước 2: Xác định số cách chọn 9 câu đúng trong 10 câu.

Việc chọn 9 câu đúng trong 10 câu có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau. Đây là một bài toán tổ hợp. Số cách chọn 9 câu đúng trong 10 câu (tức là chọn 1 câu sai) là:

\(C_{10}^9 = C_{10}^1 = \frac{10!}{9!(10-9)!} = \frac{10!}{9!1!} = 10\)

Có 10 cách khác nhau để An có thể trả lời đúng 9 câu và sai 1 câu.

Bước 3: Tính xác suất cho một trường hợp cụ thể.

Xét một trường hợp cụ thể, ví dụ An trả lời đúng 9 câu đầu tiên và sai câu thứ 10. Xác suất cho trường hợp này là:

\(\left(\frac{1}{4}\right)^9 \times \left(\frac{3}{4}\right)^1\)

Bước 4: Tính tổng xác suất để được 9 điểm.

Vì có 10 trường hợp có thể xảy ra để An được 9 điểm (mỗi trường hợp tương ứng với việc sai một câu khác nhau), nên xác suất tổng cộng để An được 9 điểm là:

\(P(9 \text{ điểm}) = C_{10}^9 \times \left(\frac{1}{4}\right)^9 \times \left(\frac{3}{4}\right)^1\)

\(P(9 \text{ điểm}) = 10 \times \frac{1}{4^9} \times \frac{3}{4}\)

\(P(9 \text{ điểm}) = 10 \times \frac{3}{4^{10}}\)

\(P(9 \text{ điểm}) = \frac{30}{4^{10}}\)

Ta có \(4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576\).

Vậy, \(P(9 \text{ điểm}) = \frac{30}{1048576}\)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2:

\(P(9 \text{ điểm}) = \frac{15}{524288}\)

Kết luận cho ý a): Xác suất để bạn An được 9 điểm là \(\frac{15}{524288}\).

Phần b) Tính xác suất để bạn An được 2 điểm.

Để đạt được 2 điểm, bạn An cần trả lời đúng 2 câu và sai 8 câu trong tổng số 10 câu.

Bước 1: Xác định xác suất trả lời đúng và sai cho mỗi câu.

Như đã xác định ở phần a):

\(P(\text{đúng}) = \frac{1}{4}\)

\(P(\text{sai}) = \frac{3}{4}\)

Bước 2: Xác định số cách chọn 2 câu đúng trong 10 câu.

Số cách chọn 2 câu đúng trong 10 câu (tức là chọn 8 câu sai) là:

\(C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45\)

Có 45 cách khác nhau để An có thể trả lời đúng 2 câu và sai 8 câu.

Bước 3: Tính xác suất cho một trường hợp cụ thể.

Xét một trường hợp cụ thể, ví dụ An trả lời đúng 2 câu đầu tiên và sai 8 câu còn lại. Xác suất cho trường hợp này là:

\(\left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^8\)

Bước 4: Tính tổng xác suất để được 2 điểm.

Vì có 45 trường hợp có thể xảy ra để An được 2 điểm, nên xác suất tổng cộng để An được 2 điểm là:

\(P(2 \text{ điểm}) = C_{10}^2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^8\)

\(P(2 \text{ điểm}) = 45 \times \frac{1}{4^2} \times \frac{3^8}{4^8}\)

\(P(2 \text{ điểm}) = 45 \times \frac{3^8}{4^{10}}\)

Ta cần tính \(3^8\):

\(3^2 = 9\)

\(3^4 = 9^2 = 81\)

\(3^8 = 81^2 = 6561\)

Và \(4^{10} = 1048576\) như đã tính ở trên.

Vậy, \(P(2 \text{ điểm}) = 45 \times \frac{6561}{1048576}\)

\(P(2 \text{ điểm}) = \frac{45 \times 6561}{1048576}\)

\(45 \times 6561 = 295245\)

\(P(2 \text{ điểm}) = \frac{295245}{1048576}\)

Kết luận cho ý b): Xác suất để bạn An được 2 điểm là \(\frac{295245}{1048576}\).

Các em thấy đấy, bài toán này thuộc dạng phân phối nhị thức. Trong đó, mỗi câu hỏi là một phép thử Bernoulli với 2 kết quả (đúng hoặc sai). Số lần thử là 10 (số câu hỏi). Xác suất thành công (trả lời đúng) là \(p = \frac{1}{4}\) và xác suất thất bại (trả lời sai) là \(q = \frac{3}{4}\). Công thức tổng quát cho phân phối nhị thức là:

\(P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\)

trong đó:

\(n\) là số phép thử (số câu hỏi)

\(k\) là số lần thành công (số câu đúng)

\(p\) là xác suất thành công

\(q\) là xác suất thất bại

\(C_n^k\) là tổ hợp chập \(k\) của \(n\)

Các em về nhà thử áp dụng công thức này để kiểm tra lại kết quả của mình nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô.

Chúc các em học tốt!