Chào các em học sinh yêu quý của thầy!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tích phân khá thú vị và thường gặp trong chương trình Toán lớp 12. Đây là một dạng bài điển hình sử dụng phương pháp đổi biến số.

Đề bài: Tính tích phân sau:

\[I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{1+\cos^2(x)} dx\]

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phân tích bài toán:

Quan sát biểu thức dưới dấu tích phân, ta thấy tử số có \(\sin(2x)\) và mẫu số có \(\cos^2(x)\). Điều này gợi ý cho chúng ta sử dụng phép đổi biến số liên quan đến \(\cos(x)\) hoặc \(\cos^2(x)\).

Đầu tiên, hãy nhớ lại công thức lượng giác cơ bản: \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). Thay vào tích phân, ta được:

\[I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{2\sin(x)\cos(x)}{1+\cos^2(x)} dx\]

Nhận thấy rằng đạo hàm của \(\cos^2(x)\) sẽ chứa \(\sin(x)\cos(x)\). Cụ thể, nếu đặt \(u = 1 + \cos^2(x)\), thì đạo hàm của \(u\) sẽ là tử số, hoặc một phần của tử số.

Bước 1: Đặt biến phụ (đổi biến số)

Ta đặt:

\[u = 1 + \cos^2(x)\]

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa \(du\) và \(dx\) (Đạo hàm hai vế)

Đây là phần quan trọng nhất mà các em cần nắm rõ. Khi đã chọn biến đổi \(u = 1 + \cos^2(x)\), bước tiếp theo là chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa \(du\) và \(dx\). Chúng ta làm điều này bằng cách lấy đạo hàm của biểu thức \(u = 1 + \cos^2(x)\) theo biến \(x\).

Chúng ta sẽ đạo hàm từng vế của đẳng thức \(u = 1 + \cos^2(x)\) theo biến \(x\):

• Vế trái: Đạo hàm của \(u\) theo \(x\) được kí hiệu là \(\frac{du}{dx}\).

• Vế phải: Đạo hàm của \((1 + \cos^2(x))\) theo \(x\).

  Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng: \((f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x)\).

  – Đạo hàm của hằng số \(1\) là \(0\).

  – Đạo hàm của \(\cos^2(x)\) (hay \((\cos(x))^2\)): Đây là đạo hàm của hàm hợp. Chúng ta áp dụng quy tắc chuỗi (chain rule): \((f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).

  Ở đây, đặt \(v = \cos(x)\), thì \(\cos^2(x) = v^2\).

  – Đạo hàm của \(v^2\) theo \(v\) là \(2v\).

  – Đạo hàm của \(v = \cos(x)\) theo \(x\) là \(\text{-}\sin(x)\).

  Vậy, đạo hàm của \(\cos^2(x)\) theo \(x\) là \(2\cos(x) \cdot (-\sin(x)) = -2\sin(x)\cos(x)\).

Kết hợp lại, đạo hàm của vế phải là \(0 + (-2\sin(x)\cos(x)) = -2\sin(x)\cos(x)\).

Như vậy, chúng ta có:

\[\frac{du}{dx} = -2\sin(x)\cos(x)\]

Từ đẳng thức này, ta “nhân chéo” \(dx\) lên vế phải để có biểu thức của \(du\):

\[du = -2\sin(x)\cos(x) dx\]

Mà ta biết \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), nên ta có thể viết lại:

\[du = -\sin(2x) dx\]

Hoặc, viết theo \(\sin(2x) dx\):

\[\sin(2x) dx = -du\]

Đây chính là mối liên hệ mà chúng ta cần để thay thế tử số trong tích phân.

Bước 3: Đổi cận tích phân

Vì đây là tích phân xác định, khi đổi biến từ \(x\) sang \(u\), chúng ta cũng phải đổi cận tích phân tương ứng.

• Khi cận dưới \(x = 0\):

  \(u = 1 + \cos^2(0) = 1 + (1)^2 = 1 + 1 = 2\).

• Khi cận trên \(x = \pi/2\):

  \(u = 1 + \cos^2(\pi/2) = 1 + (0)^2 = 1 + 0 = 1\).

Bước 4: Thay thế vào tích phân và tính toán

Bây giờ, chúng ta thay tất cả các biểu thức đã tìm được vào tích phân ban đầu:

\[I = \int_{x=0}^{x=\pi/2} \frac{\sin(2x)}{1+\cos^2(x)} dx\]

Thay \(\sin(2x) dx = -du\) và \(1+\cos^2(x) = u\), cùng với các cận mới:

\[I = \int_{u=2}^{u=1} \frac{-du}{u}\]

Để tiện tính toán, ta có thể đưa dấu trừ ra ngoài dấu tích phân và đổi cận tích phân (đổi vị trí cận trên và cận dưới thì phải đổi dấu):

\[I = – \int_{2}^{1} \frac{1}{u} du = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du\]

Nguyên hàm của \(\frac{1}{u}\) là \(\ln|u|\). Áp dụng công thức Newton-Leibniz:

\[I = [\ln|u|]_{1}^{2}\]

\[I = \ln|2| – \ln|1|\]

Vì \(\ln(1) = 0\), ta có:

\[I = \ln(2) – 0\]

\[I = \ln(2)\]

Kết luận:

Vậy, giá trị của tích phân đã cho là \(\ln(2)\).

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này, đặc biệt là phần đạo hàm hai vế để thực hiện đổi biến số. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong giải tích.

Chúc các em học tốt!