Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một hàm số bậc hai, hay còn gọi là parabol, một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Đại số lớp 10 của chúng ta. Bài toán này sẽ giúp các em nắm vững cách xác định các yếu tố cơ bản của đồ thị hàm số bậc hai.

Hàm số đã cho là: \(y=x^2-4x+3\)

a) Xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol

Để tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol có dạng tổng quát \(y = ax^2 + bx + c\), chúng ta cần nhớ các công thức cơ bản sau:

• Hoành độ đỉnh: \(x_V = \frac{-b}{2a}\)
• Tung độ đỉnh: \(y_V = f(x_V)\) (tức là thay \(x_V\) vào hàm số ban đầu)
• Trục đối xứng: là đường thẳng đứng có phương trình \(x = x_V\)

Trước hết, chúng ta hãy xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) từ hàm số đã cho: \(y=x^2-4x+3\).

Ở đây, ta có:

\(a = 1\) (hệ số của \(x^2\))

\(b = -4\) (hệ số của \(x\))

\(c = 3\) (hệ số tự do)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán từng phần:

1. Tính hoành độ đỉnh \(x_V\):

Áp dụng công thức:

\(x_V = \frac{-b}{2a}\)

Thay các giá trị \(a=1\) và \(b=-4\) vào công thức:

\(x_V = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1}\)
\(x_V = \frac{4}{2}\)
\(x_V = 2\)

2. Tính tung độ đỉnh \(y_V\):

Chúng ta sẽ thay giá trị \(x_V = 2\) vừa tìm được vào hàm số ban đầu \(y=x^2-4x+3\):

\(y_V = (2)^2 – 4(2) + 3\)
\(y_V = 4 – 8 + 3\)
\(y_V = -4 + 3\)
\(y_V = -1\)

Vậy, tọa độ đỉnh của parabol là \(V(2; -1)\).

3. Xác định trục đối xứng:

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, có phương trình \(x = x_V\).

Vì \(x_V = 2\), nên phương trình trục đối xứng là \(x = 2\).

Tóm lại cho câu a):

• Tọa độ đỉnh: \(V(2; -1)\)
• Trục đối xứng: \(x = 2\)

b) Tìm giao điểm của parabol với trục \(Ox\)

Giao điểm của parabol với trục \(Ox\) (trục hoành) là những điểm mà tại đó tung độ \(y\) bằng 0. Nói cách khác, chúng ta cần giải phương trình \(y = 0\).

Từ hàm số \(y=x^2-4x+3\), ta đặt:

\(x^2 – 4x + 3 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải phương trình này bằng nhiều cách (như phân tích thành nhân tử, dùng công thức nghiệm Delta, hoặc nhẩm nghiệm nếu là trường hợp đặc biệt). Trong trường hợp tổng quát và để đảm bảo tính chính xác, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm Delta \(\Delta\).

Xác định lại các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) cho phương trình \(x^2 – 4x + 3 = 0\):

\(a = 1\)

\(b = -4\)

\(c = 3\)

1. Tính Delta \(\Delta\):

Công thức Delta là: \(\Delta = b^2 – 4ac\)

Thay các giá trị vào:

\(\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3\)
\(\Delta = 16 – 12\)
\(\Delta = 4\)

Vì \(\Delta = 4 > 0\), nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều này có nghĩa là parabol cắt trục \(Ox\) tại hai điểm riêng biệt.

2. Áp dụng công thức nghiệm:

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Thay các giá trị \(a=1\), \(b=-4\), \(\Delta=4\) vào công thức:

\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}\)
\(x = \frac{4 \pm 2}{2}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm hai nghiệm:

Nghiệm thứ nhất (\(x_1\)):

\(x_1 = \frac{4 + 2}{2}\)
\(x_1 = \frac{6}{2}\)
\(x_1 = 3\)

Nghiệm thứ hai (\(x_2\)):

\(x_2 = \frac{4 – 2}{2}\)
\(x_2 = \frac{2}{2}\)
\(x_2 = 1\)

Vậy, giao điểm của parabol với trục \(Ox\) là các điểm có tọa độ:

\(A(1; 0)\) và \(B(3; 0)\).

Lưu ý thêm (dành cho bạn nào thích tốc độ):

Đối với phương trình \(x^2 – 4x + 3 = 0\), các em cũng có thể nhẩm nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử một cách nhanh chóng:

Ta cần tìm hai số có tổng bằng 4 và tích bằng 3. Đó chính là 1 và 3.
Do đó, phương trình có thể viết lại thành:
\((x-1)(x-3) = 0\)
Suy ra \(x-1 = 0\) hoặc \(x-3 = 0\)
Giải ra ta được \(x = 1\) hoặc \(x = 3\).
Kết quả hoàn toàn trùng khớp với việc sử dụng công thức Delta, phải không nào?

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán một cách chi tiết!

Chúc các em học tốt, luôn tự tin và yêu thích môn Toán nhé!

Thầy/Cô giáo Toán của các em.