Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán về biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là những dạng bài rất quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về trục căn thức ở mẫu, biến đổi biểu thức và rút gọn. Chúng ta hãy cùng bắt đầu nhé!

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

\(\left(\frac{3}{\sqrt{2}+1} + \frac{14}{2\sqrt{2}-1} – \frac{4}{2-\sqrt{2}}\right) \cdot (\sqrt{8}+2)\)

Lời giải chi tiết:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một:

Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong dấu ngoặc đơn.

a) Đối với phân thức thứ nhất: \(\frac{3}{\sqrt{2}+1}\)

Chúng ta sẽ trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu, đó là \(\sqrt{2}-1\).

\(\frac{3}{\sqrt{2}+1} = \frac{3(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\), ta có:

\(= \frac{3(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^2 – 1^2} = \frac{3(\sqrt{2}-1)}{2 – 1} = \frac{3(\sqrt{2}-1)}{1} = 3\sqrt{2} – 3\)

b) Đối với phân thức thứ hai: \(\frac{14}{2\sqrt{2}-1}\)

Chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu, đó là \(2\sqrt{2}+1\).

\(\frac{14}{2\sqrt{2}-1} = \frac{14(2\sqrt{2}+1)}{(2\sqrt{2}-1)(2\sqrt{2}+1)}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(A^2 – B^2\):

\(= \frac{14(2\sqrt{2}+1)}{(2\sqrt{2})^2 – 1^2} = \frac{14(2\sqrt{2}+1)}{4 \cdot 2 – 1} = \frac{14(2\sqrt{2}+1)}{8 – 1} = \frac{14(2\sqrt{2}+1)}{7}\)

Rút gọn \(\frac{14}{7} = 2\):

\(= 2(2\sqrt{2}+1) = 4\sqrt{2} + 2\)

c) Đối với phân thức thứ ba: \(\frac{4}{2-\sqrt{2}}\)

Chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu, đó là \(2+\sqrt{2}\).

\(\frac{4}{2-\sqrt{2}} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(A^2 – B^2\):

\(= \frac{4(2+\sqrt{2})}{2^2 – (\sqrt{2})^2} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{4 – 2} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{2}\)

Rút gọn \(\frac{4}{2} = 2\):

\(= 2(2+\sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2}\)

Bước 2: Thay các kết quả đã rút gọn vào biểu thức trong dấu ngoặc đơn.

Biểu thức trong ngoặc trở thành:

\((3\sqrt{2} – 3) + (4\sqrt{2} + 2) – (4 + 2\sqrt{2})\)

Bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử nếu có dấu trừ phía trước:

\(= 3\sqrt{2} – 3 + 4\sqrt{2} + 2 – 4 – 2\sqrt{2}\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng (có chứa \(\sqrt{2}\) và các số tự do):

\(= (3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} – 2\sqrt{2}) + (-3 + 2 – 4)\)

\(= (3+4-2)\sqrt{2} + (-5)\)

\(= 5\sqrt{2} – 5\)

Bước 3: Rút gọn thừa số thứ hai của biểu thức: \((\sqrt{8}+2)\).

Ta có \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

Vậy, \(\sqrt{8}+2 = 2\sqrt{2}+2\).

Bước 4: Thực hiện phép nhân hai phần đã rút gọn.

Biểu thức ban đầu trở thành:

\((5\sqrt{2} – 5) \cdot (2\sqrt{2} + 2)\)

Chúng ta có thể đặt thừa số chung ra ngoài để đơn giản hóa phép tính:

\(= 5(\sqrt{2} – 1) \cdot 2(\sqrt{2} + 1)\)

\(= (5 \cdot 2) \cdot (\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1)\)

\(= 10 \cdot ((\sqrt{2})^2 – 1^2)\)

\(= 10 \cdot (2 – 1)\)

\(= 10 \cdot 1\)

\(= 10\)

Vậy, giá trị của biểu thức là 10.

---

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1}\) biết \(a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\) và \(b=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\).

Lời giải chi tiết:

Tương tự như bài 1, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc rút gọn các giá trị của \(a\) và \(b\).

Bước 1: Rút gọn giá trị của \(a\) và \(b\).

a) Đối với \(a = \dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\):

Chúng ta trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là \(2-\sqrt{3}\).

\(a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)

\(a = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 – (\sqrt{3})^2}\)

\(a = \frac{2-\sqrt{3}}{4 – 3}\)

\(a = \frac{2-\sqrt{3}}{1}\)

\(a = 2-\sqrt{3}\)

b) Đối với \(b = \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\):

Chúng ta trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là \(2+\sqrt{3}\).

\(b = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\)

\(b = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 – (\sqrt{3})^2}\)

\(b = \frac{2+\sqrt{3}}{4 – 3}\)

\(b = \frac{2+\sqrt{3}}{1}\)

\(b = 2+\sqrt{3}\)

Bước 2: Tính \(a+1\) và \(b+1\).

\(a+1 = (2-\sqrt{3}) + 1 = 3-\sqrt{3}\)

\(b+1 = (2+\sqrt{3}) + 1 = 3+\sqrt{3}\)

Bước 3: Thay \(a+1\) và \(b+1\) vào biểu thức cần tính.

Biểu thức cần tính là: \(\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1}\)

Thay các giá trị vừa tính được vào:

\(= \frac{1}{3-\sqrt{3}} + \frac{1}{3+\sqrt{3}}\)

Bước 4: Cộng hai phân số.

Để cộng hai phân số, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung ở đây là \((3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})\).

Áp dụng hằng đẳng thức \(A^2 – B^2\):

\((3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 3^2 – (\sqrt{3})^2 = 9 – 3 = 6\)

Bây giờ, quy đồng mẫu số và cộng các phân số:

\(= \frac{1 \cdot (3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} + \frac{1 \cdot (3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}\)

\(= \frac{3+\sqrt{3}}{6} + \frac{3-\sqrt{3}}{6}\)

\(= \frac{(3+\sqrt{3}) + (3-\sqrt{3})}{6}\)

\(= \frac{3+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{6}\)

Các số hạng \(\sqrt{3}\) và \(-\sqrt{3}\) triệt tiêu nhau:

\(= \frac{3+3}{6}\)

\(= \frac{6}{6}\)

\(= 1\)

Vậy, giá trị của biểu thức là 1.

Lưu ý thêm: Các em có thể nhận thấy một điều đặc biệt ở bài này là tích \(a \cdot b = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 – (\sqrt{3})^2 = 4-3=1\). Tổng \(a+b = (2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3}) = 4\).
Khi đó, biểu thức cần tính là \(\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} = \dfrac{b+1+a+1}{(a+1)(b+1)} = \dfrac{a+b+2}{ab+a+b+1}\).
Thay \(a+b=4\) và \(ab=1\) vào, ta được: \(\dfrac{4+2}{1+4+1} = \dfrac{6}{6} = 1\). Đây là một cách giải nhanh hơn nếu các em tinh ý nhận ra mối quan hệ giữa \(a\) và \(b\).

Chúc các em học tốt!