Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn. Đề bài của chúng ta là:

\(\left \{ {{x+2y=5} \atop {3x+5y=13}} \right.\)

Ồ, “tút ngủ đei” ư? Không sao cả, có thể em đang thấy hơi buồn ngủ một chút, nhưng với bài toán này thì chúng ta sẽ cùng “đánh bay” cơn buồn ngủ ngay thôi! Bởi vì nó rất thú vị và không hề khó đâu nhé!

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số (hay còn gọi là phương pháp khử), hoặc phương pháp đồ thị. Trong phạm vi lớp 8, phương pháp thế và cộng đại số là hai phương pháp chính mà chúng ta thường dùng.

Trong bài này, cô sẽ hướng dẫn các em giải bằng phương pháp cộng đại số (phương pháp khử), vì phương pháp này rất hiệu quả khi các hệ số của một ẩn có thể dễ dàng biến đổi để triệt tiêu lẫn nhau. Sau đó, cô sẽ nhắc đến phương pháp thế để các em thấy mình có nhiều lựa chọn nhé.

***

Giải bài toán:

Ta có hệ phương trình:

\( (1) \quad x + 2y = 5 \)

\( (2) \quad 3x + 5y = 13 \)

Bước 1: Mục tiêu của chúng ta là làm cho hệ số của một ẩn (x hoặc y) trong hai phương trình trở thành đối nhau hoặc giống nhau, để khi cộng hoặc trừ hai phương trình đó, ẩn đó sẽ bị triệt tiêu.

Ở đây, cô thấy hệ số của x trong phương trình (1) là 1 và trong phương trình (2) là 3. Nếu ta nhân toàn bộ phương trình (1) với 3, thì hệ số của x trong phương trình (1) mới sẽ là 3, giống với phương trình (2). Như vậy ta có thể trừ hai phương trình cho nhau để khử ẩn x.

Bước 2: Nhân phương trình (1) với 3.

\( 3 \times (x + 2y) = 3 \times 5 \)

\( 3x + 6y = 15 \)

Ta gọi đây là phương trình (3):

\( (3) \quad 3x + 6y = 15 \)

Bước 3: Trừ phương trình (2) từ phương trình (3) (hoặc ngược lại) để khử ẩn x.

Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2):

\( (3x + 6y) – (3x + 5y) = 15 – 13 \)

Thực hiện phép trừ cẩn thận:

\( 3x + 6y – 3x – 5y = 2 \)

Các em thấy không, \(3x – 3x\) sẽ bằng 0, vậy là ẩn x đã bị “khử” rồi!

\( (6y – 5y) = 2 \)

\( y = 2 \)

Vậy là chúng ta đã tìm được giá trị của y!

Bước 4: Thay giá trị của y vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu (chọn phương trình nào đơn giản hơn để tính toán) để tìm giá trị của x.

Cô thấy phương trình (1) đơn giản hơn rất nhiều:

\( x + 2y = 5 \)

Thay \(y = 2\) vào phương trình (1):

\( x + 2 \times 2 = 5 \)

\( x + 4 = 5 \)

Để tìm x, ta chuyển 4 sang vế phải:

\( x = 5 – 4 \)

\( x = 1 \)

Vậy là chúng ta đã tìm được giá trị của x!

Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( (x; y) = (1; 2) \).

Bước 6: (Rất quan trọng!) Kiểm tra lại nghiệm.

Để chắc chắn kết quả của mình là đúng, các em hãy thay \(x = 1\) và \(y = 2\) vào cả hai phương trình ban đầu nhé:

Với phương trình (1): \( x + 2y = 5 \)

Thay vào: \( 1 + 2 \times 2 = 1 + 4 = 5 \)

Đúng với vế phải của phương trình (1). (Yêu cầu: \(5=5\))

Với phương trình (2): \( 3x + 5y = 13 \)

Thay vào: \( 3 \times 1 + 5 \times 2 = 3 + 10 = 13 \)

Đúng với vế phải của phương trình (2). (Yêu cầu: \(13=13\))

Vì cả hai phương trình đều đúng khi thay nghiệm vào, vậy nghiệm của chúng ta là chính xác!

***

Tóm tắt lại quá trình giải:

1. Biến đổi một hoặc cả hai phương trình để hệ số của một ẩn trở nên giống nhau hoặc đối nhau.
2. Cộng hoặc trừ hai phương trình để khử ẩn đó, tìm ra giá trị của ẩn còn lại.
3. Thế giá trị vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của ẩn kia.
4. Kiểm tra lại nghiệm bằng cách thế vào cả hai phương trình.

Thấy chưa, không hề khó một chút nào phải không? ‘Tút ngủ đei’ nhưng vẫn giải được bài rất nhanh và chính xác luôn! Các em cũng có thể sử dụng phương pháp thế bằng cách rút x từ phương trình (1): \(x = 5 – 2y\), rồi thế biểu thức này vào phương trình (2). Các em hãy thử làm theo cách đó xem có ra cùng một kết quả không nhé!

Hãy luyện tập thêm để thành thạo các phương pháp này nhé. Chúc các em học tốt!