Bài toán: Người ta mở rộng một cái ao hình vuông để được một cái ao hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Sau khi mở rộng, diện tích cái ao tăng thêm 600m² và diện tích ao mới gấp 4 lần ao cũ. Hỏi phải dùng bao nhiêu chiếc cọc để đủ rào xung quanh ao mới? Biết rằng cọc nọ cách cọc kia 1m, một góc người ta để lối xuống rộng 3m.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một, phân tích đề bài và áp dụng các kiến thức đã học.

Bước 1: Gọi ẩn và thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng.

Gọi cạnh của ao hình vuông ban đầu là \(a\) (m).
Vậy diện tích ao hình vuông ban đầu là \(a \times a = a^2\) (m²).

Sau khi mở rộng, ao có hình chữ nhật. Gọi chiều rộng của ao mới là \(b\) (m).
Theo đề bài, chiều dài của ao mới gấp 2 lần chiều rộng, nên chiều dài là \(2b\) (m).

Diện tích ao mới là \(b \times 2b = 2b^2\) (m²).

Bước 2: Sử dụng thông tin về sự tăng diện tích và tỉ lệ diện tích.

Đề bài cho biết diện tích ao tăng thêm 600m². Điều này có nghĩa là:

Diện tích ao mới – Diện tích ao cũ = 600m²

\(2b^2 – a^2 = 600\) (1)

Đề bài cũng cho biết diện tích ao mới gấp 4 lần ao cũ:

Diện tích ao mới = 4 x Diện tích ao cũ

\(2b^2 = 4 \times a^2\)

\(2b^2 = 4a^2\)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\(b^2 = 2a^2\)

Từ đây, ta có thể suy ra mối liên hệ giữa \(b\) và \(a\): \(b = \sqrt{2}a\). Tuy nhiên, để giải bài toán này một cách đơn giản hơn, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế.

Bước 3: Tìm diện tích ao cũ và ao mới.

Chúng ta có hai phương trình:

1. \(2b^2 – a^2 = 600\)
2. \(2b^2 = 4a^2\)

Thế phương trình (2) vào phương trình (1):

\(4a^2 – a^2 = 600\)

\(3a^2 = 600\)

Chia cả hai vế cho 3:

\(a^2 = \frac{600}{3} = 200\)

Vậy diện tích ao cũ là 200m².

Bây giờ, chúng ta tìm diện tích ao mới:

Diện tích ao mới = 4 x Diện tích ao cũ

Diện tích ao mới = \(4 \times 200 = 800\) (m²).

Kiểm tra lại: Diện tích ao mới tăng thêm là \(800 – 200 = 600\)m², đúng với đề bài.

Bước 4: Tìm kích thước của ao mới.

Ta có diện tích ao mới là \(2b^2 = 800\)m².

\(b^2 = \frac{800}{2} = 400\)

Lấy căn bậc hai của 400, ta được \(b = 20\) (m).

Vậy chiều rộng của ao mới là 20m.

Chiều dài của ao mới là \(2b = 2 \times 20 = 40\) (m).

Kiểm tra lại: Kích thước ao mới là 40m x 20m. Diện tích là \(40 \times 20 = 800\)m², đúng.

Bước 5: Tính chu vi của ao mới.

Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức: Chu vi = \(2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})\).

Chu vi ao mới = \(2 \times (40 + 20) = 2 \times 60 = 120\) (m).

Bước 6: Tính số cọc cần dùng.

Đề bài cho biết cọc nọ cách cọc kia 1m. Tuy nhiên, ở một góc, người ta để lối xuống rộng 3m, nên đoạn đó sẽ không cần rào cọc.

Tổng chiều dài cần rào là chu vi ao trừ đi chiều rộng của lối xuống.

Chiều dài cần rào = Chu vi ao mới – Chiều rộng lối xuống

Chiều dài cần rào = \(120 – 3 = 117\) (m).

Vì cọc nọ cách cọc kia 1m, nên số cọc cần dùng sẽ là số đoạn dài 1m cộng thêm 1 cọc ở điểm bắt đầu (hoặc tương tự tùy cách đếm). Tuy nhiên, khi rào xung quanh một hình kín, nếu cọc cách cọc 1m thì số cọc bằng độ dài cần rào.

Nhưng ở đây có lối đi, chúng ta cần suy nghĩ kỹ hơn.

Hãy tưởng tượng chúng ta bắt đầu cắm cọc từ một bên của lối xuống, đi hết một cạnh, đến góc, đi hết cạnh tiếp theo, đến góc tiếp theo, đi hết cạnh thứ ba, rồi đến bên còn lại của lối xuống.

Độ dài cần rào là 117m. Nếu cọc cách cọc 1m, thì chúng ta cần 117 cọc cho phần rào này.

Tuy nhiên, cách đếm cọc có thể phức tạp hơn tùy thuộc vào việc chúng ta có tính cả cọc ở hai đầu lối xuống hay không.

Cách 1: Tính số đoạn rào.

Độ dài cần rào là 117m. Số đoạn rào dài 1m là 117 đoạn.

Nếu chúng ta coi việc rào là việc chia đoạn thẳng 117m thành các đoạn nhỏ 1m, thì cần 117 cọc.

Cách 2: Xem xét vị trí cọc.

Giả sử chúng ta bắt đầu cắm cọc từ một điểm, cách lối xuống 1m, rồi cứ 1m cắm một cọc.

Chiều dài ao mới là 40m, chiều rộng là 20m.

Cạnh dài 40m, trừ đi 1.5m mỗi bên của lối xuống (nếu lối xuống nằm chính giữa) thì phần rào là \(40 – 3 = 37\)m? Không, đề bài nói một góc để lối xuống rộng 3m, tức là 3m trên một cạnh.

Chúng ta hãy coi mỗi cạnh của ao mới:

• Hai cạnh dài 40m.
• Hai cạnh rộng 20m.

Giả sử lối xuống nằm ở một góc. Chúng ta cần xem xét lại cách đề bài mô tả “một góc người ta để lên lối xuống rộng 3m”. Điều này có nghĩa là trên một trong các cạnh hoặc tại điểm giao nhau của hai cạnh có một khoảng trống 3m.

Chúng ta hãy giả định lối xuống rộng 3m nằm trên một cạnh của ao mới.

Ví dụ, trên một cạnh dài 40m, có 3m là lối xuống. Vậy phần rào trên cạnh đó là \(40 – 3 = 37\)m.

Cạnh đối diện với nó (cũng dài 40m) sẽ cần rào toàn bộ 40m.

Hai cạnh rộng 20m sẽ cần rào toàn bộ 20m.

Tổng chiều dài cần rào: \(37 + 40 + 20 + 20 = 117\) (m).

Với khoảng cách cọc là 1m, số cọc cần dùng để rào 117m là 117 cọc.

Tuy nhiên, cần xem xét vị trí của lối xuống. Nếu lối xuống cắt ngang qua một góc, thì nó sẽ ảnh hưởng đến hai cạnh.

Cách hiểu phổ biến nhất: “một góc người ta để lên lối xuống rộng 3m” có nghĩa là trên một cạnh của ao mới có một đoạn 3m không được rào.

Chúng ta áp dụng nguyên tắc: Cọc nọ cách cọc kia 1m. Khi rào một đoạn thẳng dài L mét, số cọc cần dùng là \(L + 1\) (nếu tính cả hai đầu) hoặc \(L\) (nếu hiểu là số khoảng cách).

Trong trường hợp rào xung quanh ao, nếu không có lối đi, chu vi 120m, cọc cách cọc 1m, thì cần 120 cọc.

Với lối xuống rộng 3m, tức là chúng ta bỏ đi 3m chiều dài rào.

Số cọc cần dùng = (Tổng chu vi – Chiều rộng lối xuống) / Khoảng cách cọc.

Số cọc = \(117 / 1 = 117\) cọc.

Lưu ý về cách đếm cọc ở các góc:

Khi rào xung quanh một hình chữ nhật với khoảng cách cọc là 1m, số cọc thường bằng chu vi. Ví dụ, hình vuông 2×2, chu vi 8m, cần 8 cọc.

Trong trường hợp này, chiều dài cần rào là 117m. Nếu chúng ta bắt đầu cắm cọc từ điểm A, đi theo chu vi và kết thúc ở điểm B (cách A 117m), thì cần 117 cọc.

Kết luận cuối cùng:

Diện tích ao cũ là \(a^2\). Diện tích ao mới là \(2b^2\).

\(2b^2 = 4a^2 \Rightarrow b^2 = 2a^2\).

\(2b^2 – a^2 = 600 \Rightarrow 4a^2 – a^2 = 600 \Rightarrow 3a^2 = 600 \Rightarrow a^2 = 200\) m².

Diện tích ao mới là \(4 \times 200 = 800\) m².

Chiều rộng ao mới \(b\): \(2b^2 = 800 \Rightarrow b^2 = 400 \Rightarrow b = 20\) m.

Chiều dài ao mới \(2b = 40\) m.

Chu vi ao mới là \(2 \times (40 + 20) = 120\) m.

Chiều dài cần rào là \(120 – 3 = 117\) m.

Số cọc cần dùng = \(117\) chiếc.

Đáp số: Phải dùng 117 chiếc cọc.

Các em thấy không, chỉ cần phân tích đề bài thật kỹ và áp dụng đúng công thức là chúng ta có thể giải được bài toán này.

Có bạn nào có thắc mắc gì không?