Chào các em học sinh lớp 10! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về phương trình bậc hai và cực trị của biểu thức. Bài toán của chúng ta là:

Bài toán: Cho phương trình \(x^2-mx+m-1=0.\) Tìm \(m \) để phương trình có hai nghiệm \(x_1 ,x_2\) sao cho biểu thức \(P=(2x_1x_2+3)/(x_1^2+x_2^2+2(1+x_1x_2)\) đạt giá trị lớn nhất.

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm.

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai: \(x^2-mx+m-1=0.\) Để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\), biệt thức Delta (\(\Delta\)) phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Ta có \(a=1, b=-m, c=m-1.\)

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-m)^2 – 4(1)(m-1) = m^2 – 4m + 4 = (m-2)^2.\)

Để phương trình có hai nghiệm, ta cần \(\Delta \ge 0\).

\((m-2)^2 \ge 0.\)

Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị của \(m\) vì bình phương của một số thực luôn không âm.

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu “có hai nghiệm”, nếu hiểu là hai nghiệm phân biệt thì ta cần \(\Delta > 0\), tức là \((m-2)^2 > 0\), suy ra \(m \ne 2\). Nếu hiểu là hai nghiệm có thể trùng nhau thì \(\Delta \ge 0\) là đủ.

Chúng ta sẽ xem xét cả hai trường hợp hoặc sẽ làm rõ trong quá trình biến đổi biểu thức \(P\).

Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét.

Nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\), theo định lý Vi-ét, ta có:

Tổng hai nghiệm: \(x_1 + x_2 = -b/a = -(-m)/1 = m.\)

Tích hai nghiệm: \(x_1 x_2 = c/a = (m-1)/1 = m-1.\)

Bước 3: Biến đổi biểu thức \(P\).

Biểu thức \(P\) là: \(P=(2x_1x_2+3)/(x_1^2+x_2^2+2(1+x_1x_2))\).

Chúng ta cần biểu diễn \(P\) theo \(m\). Trước hết, hãy biến đổi mẫu số:

\(x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 – 2x_1x_2.\)

Thay \(x_1+x_2 = m\) và \(x_1x_2 = m-1\) vào:

\(x_1^2+x_2^2 = (m)^2 – 2(m-1) = m^2 – 2m + 2.\)

Bây giờ, chúng ta tính cả mẫu số của \(P\):

\(x_1^2+x_2^2+2(1+x_1x_2) = (m^2 – 2m + 2) + 2(1 + m-1) \)

\(= m^2 – 2m + 2 + 2(m) \)

\(= m^2 – 2m + 2 + 2m \)

\(= m^2 + 2.\)

Lưu ý rằng mẫu số \(m^2+2\) luôn luôn dương (\(m^2 \ge 0 \Rightarrow m^2+2 \ge 2\)) với mọi \(m\). Điều này có nghĩa là \(P\) luôn xác định.

Bây giờ, thay các biểu thức đã tính được vào \(P\):

\(P = (2(m-1) + 3) / (m^2 + 2) \)

\(P = (2m – 2 + 3) / (m^2 + 2) \)

\(P = (2m + 1) / (m^2 + 2).\)

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P(m)\).

Chúng ta cần tìm \(m\) để \(P(m) = (2m + 1) / (m^2 + 2)\) đạt giá trị lớn nhất.

Đặt \(k = P(m)\), ta có \(k = (2m + 1) / (m^2 + 2)\).

Chuyển phương trình về dạng của \(m\):

\(k(m^2 + 2) = 2m + 1\)

\(km^2 + 2k = 2m + 1\)

\(km^2 – 2m + (2k – 1) = 0.\)

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \(m\). Để phương trình này có nghiệm \(m\), biệt thức của nó phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Xét hai trường hợp cho phương trình bậc hai theo \(m\):

Trường hợp 1: \(k = 0\).

Nếu \(k=0\), phương trình trở thành \(0 \cdot m^2 – 2m + (2 \cdot 0 – 1) = 0\), tức là \(-2m – 1 = 0\), suy ra \(m = -1/2\).

Khi \(m = -1/2\), \(P = (2(-1/2) + 1) / ((-1/2)^2 + 2) = (-1+1) / (1/4 + 2) = 0 / (9/4) = 0\).

Vậy \(k=0\) là một giá trị có thể đạt được.

Trường hợp 2: \(k \ne 0\).

Phương trình \(km^2 – 2m + (2k – 1) = 0\) là phương trình bậc hai. Để có nghiệm \(m\), biệt thức \(\Delta_m\) phải \(\ge 0\).

\(\Delta_m = (-2)^2 – 4(k)(2k – 1) = 4 – 8k^2 + 4k.\)

Ta cần \(\Delta_m \ge 0 \Rightarrow 4 – 8k^2 + 4k \ge 0.\)

Chia cả hai vế cho 4 (là số dương, không đổi chiều bất đẳng thức):

\(1 – 2k^2 + k \ge 0\)

\(-2k^2 + k + 1 \ge 0\)

\(2k^2 – k – 1 \le 0.\)

Bây giờ, chúng ta cần giải bất phương trình bậc hai này theo \(k\). Tìm nghiệm của phương trình \(2k^2 – k – 1 = 0\).

Ta có \(\Delta_k = (-1)^2 – 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9.\)

Nghiệm của \(2k^2 – k – 1 = 0\) là:

\(k_1 = (1 – \sqrt{9}) / (2 \cdot 2) = (1 – 3) / 4 = -4 / 4 = -1.\)

\(k_2 = (1 + \sqrt{9}) / (2 \cdot 2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1.\)

Vì hệ số của \(k^2\) trong \(2k^2 – k – 1\) là 2 (dương), parabol có bề lõm hướng lên. Do đó, \(2k^2 – k – 1 \le 0\) khi \(k\) nằm giữa hai nghiệm:

\(-1 \le k \le 1.\)

Kết hợp với trường hợp \(k=0\) đã xét, ta thấy giá trị lớn nhất mà \(k\) có thể đạt được là \(k=1\).

Bước 5: Tìm giá trị của \(m\) tương ứng với giá trị lớn nhất của \(P\).

Giá trị lớn nhất của \(P\) là 1. Giá trị này đạt được khi \(k=1\).

Thay \(k=1\) vào phương trình \(km^2 – 2m + (2k – 1) = 0\):

\(1 \cdot m^2 – 2m + (2 \cdot 1 – 1) = 0\)

\(m^2 – 2m + 1 = 0\)

\((m-1)^2 = 0.\)

Suy ra \(m=1\).

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem với \(m=1\) thì phương trình ban đầu có hai nghiệm hay không.

Với \(m=1\), phương trình là \(x^2 – 1x + 1 – 1 = 0 \Rightarrow x^2 – x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0\).

Hai nghiệm là \(x_1=0, x_2=1\) (hoặc ngược lại). Đây là hai nghiệm phân biệt.

Nếu ta xét trường hợp “hai nghiệm” bao gồm cả nghiệm kép, thì điều kiện \(\Delta \ge 0\) đã được thỏa mãn với mọi \(m\). Tuy nhiên, khi \(m=2\), \(\Delta = (2-2)^2 = 0\), phương trình có nghiệm kép \(x=1\). Khi đó, \(P(2) = (2(2)+1) / (2^2+2) = 5/6\), nhỏ hơn 1.

Kết luận:

Để biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần \(m=1\). Giá trị lớn nhất của \(P\) là 1.

Vậy, đáp án của bài toán là \(m=1\).

Các em đã thấy, việc phân tích biểu thức và sử dụng định lý Vi-ét là rất quan trọng. Chúc các em ôn tập tốt!