Cô có một bài toán như sau:

Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44200.
Tính tổng S = 1² + 2² + 3² + … + 50².

Các em thấy đấy, bài toán cho chúng ta biết giá trị của tổng A và yêu cầu tính giá trị của tổng S. Thoạt nhìn, hai tổng này có vẻ khác nhau, nhưng chúng ta hãy cùng phân tích kỹ để tìm ra mối liên hệ nhé.

Đầu tiên, chúng ta sẽ phân tích số hạng tổng quát của tổng A.
Số hạng thứ \(n\) của tổng A có dạng là \(n \times (n+1)\).
Vậy tổng A có thể viết lại là:
A = \( \sum_{n=1}^{50} n(n+1) \)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét số hạng tổng quát của tổng S.
Số hạng thứ \(n\) của tổng S có dạng là \(n^2\).
Vậy tổng S có thể viết lại là:
S = \( \sum_{n=1}^{50} n^2 \)

Chúng ta cần tìm cách biểu diễn \(n^2\) thông qua các biểu thức có liên quan đến \(n(n+1)\) hoặc các dạng tương tự để có thể sử dụng thông tin về tổng A.

Hãy thử biến đổi số hạng tổng quát của A:
\(n(n+1) = n^2 + n\)

Từ đây, chúng ta có thể suy ra:
\(n^2 = n(n+1) – n\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng điều này cho từng số hạng trong tổng S.
Số hạng thứ nhất của S là \(1^2 = 1(1+1) – 1 = 1.2 – 1\)
Số hạng thứ hai của S là \(2^2 = 2(2+1) – 2 = 2.3 – 2\)
Số hạng thứ ba của S là \(3^2 = 3(3+1) – 3 = 3.4 – 3\)
…
Số hạng thứ 50 của S là \(50^2 = 50(50+1) – 50 = 50.51 – 50\)

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng tất cả các số hạng này lại để tính tổng S:
S = (1.2 – 1) + (2.3 – 2) + (3.4 – 3) + … + (50.51 – 50)

Chúng ta có thể nhóm các số hạng lại như sau:
S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51) – (1 + 2 + 3 + … + 50)

Các em hãy nhận ra rằng:
Phần đầu tiên của biểu thức chính là tổng A mà đề bài đã cho.
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44200.

Phần thứ hai của biểu thức là tổng của 50 số tự nhiên đầu tiên. Chúng ta có công thức tính tổng này:
Tổng của \(k\) số tự nhiên đầu tiên là \( \frac{k(k+1)}{2} \).
Ở đây, \(k = 50\), vậy tổng 1 + 2 + 3 + … + 50 là:
\( \frac{50 \times (50+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = \frac{2550}{2} = 1275 \)

Bây giờ, chúng ta chỉ việc thay giá trị của A và tổng các số tự nhiên vào biểu thức tính S:
S = A – (1 + 2 + 3 + … + 50)
S = 44200 – 1275

Thực hiện phép trừ:
S = 42925

Vậy, giá trị của tổng S là 42925.

Cô hy vọng qua bài toán này, các em đã thấy được mối liên hệ giữa các dạng tổng khác nhau và cách sử dụng những thông tin đã cho để giải quyết bài toán.

Các em có thể ghi lại lời giải chi tiết vào vở của mình.

Lời giải chi tiết:

Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44200.
Tính tổng S = 1² + 2² + 3² + … + 50².

Chúng ta có số hạng tổng quát của tổng A là \(n(n+1)\).
Do đó, A có thể viết lại là:
A = \( \sum_{n=1}^{50} n(n+1) \)

Chúng ta có số hạng tổng quát của tổng S là \(n^2\).
Do đó, S có thể viết lại là:
S = \( \sum_{n=1}^{50} n^2 \)

Ta biến đổi số hạng tổng quát của A:
\(n(n+1) = n^2 + n\)

Từ đó, ta biểu diễn \(n^2\) theo \(n(n+1)\):
\(n^2 = n(n+1) – n\)

Áp dụng biểu thức này cho từng số hạng của tổng S:
\(1^2 = 1(1+1) – 1 = 1.2 – 1\)
\(2^2 = 2(2+1) – 2 = 2.3 – 2\)
\(3^2 = 3(3+1) – 3 = 3.4 – 3\)
…
\(50^2 = 50(50+1) – 50 = 50.51 – 50\)

Cộng tất cả các số hạng này lại để tính S:
S = (1.2 – 1) + (2.3 – 2) + (3.4 – 3) + … + (50.51 – 50)

Nhóm các số hạng lại:
S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51) – (1 + 2 + 3 + … + 50)

Chúng ta biết giá trị của tổng A là:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 50.51 = 44200.

Tổng của 50 số tự nhiên đầu tiên là:
1 + 2 + 3 + … + 50 = \( \frac{50 \times (50+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = \frac{2550}{2} = 1275 \)

Thay các giá trị vào biểu thức tính S:
S = A – (1 + 2 + 3 + … + 50)
S = 44200 – 1275
S = 42925

Vậy, tổng S = 42925.

Chúc các em học tốt!